Considere uma equação na forma
que não seja exata, isto é,
. Suponha que
. Mostre que
é um fator integrante da equação. Use este resultado para resolver
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial na forma
que não é exata, ou seja,
. O objetivo é mostrar que uma função
, definida como
, é um fator integrante que torna a equação exata. Depois disso, vamos usar esse fator para resolver a equação diferencial dada:
Para isso, vamos precisar entender conceitos de equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se
. Quando não é exata, podemos procurar um fator integrante
que, ao multiplicar a equação, a torne exata.
Aqui, nos foi dado que
. Vamos usar essa informação para encontrar
.
Passo 3
Sabemos que o fator integrante
é dado por:
Isso significa que calculamos a integral de
em relação a
e depois aplicamos a função exponencial. Esse fator, quando multiplicado pela equação original, vai igualar as derivadas parciais
e
, tornando a equação exata.
Passo 4
Vamos aplicar isso na equação dada:
Aqui, podemos identificar:
Agora, calculamos
e
:
Então,
E
Passo 5
Agora, calculamos o fator integrante
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a equação é exata:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 7
Agora que a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Igualamos a
:
Então,
Integrando com respeito a
:
Usamos integração por partes:
Então,
Portanto, a função
é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
é a constante de integração.