Considere uma equação na forma
M(x, y)+N(x, y) y^prime=0
que não seja exata, isto é, Nx neq My. Suponha que Nx-MyM=Q(y). Mostre que
mu(y)=exp (integral Q(y) d y)
é um fator integrante da equação. Use este resultado para resolver
d x+(xy-sen y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial na forma dx + ( xy - sen y ) dy = 0 que não é exata, ou seja, . O objetivo é mostrar que uma função , definida como , é um fator integrante que torna a equação exata. Depois disso, vamos usar esse fator para resolver a equação diferencial dada:
Para isso, vamos precisar entender conceitos de equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma é exata se . Quando não é exata, podemos procurar um fator integrante que, ao multiplicar a equação, a torne exata.
Aqui, nos foi dado que . Vamos usar essa informação para encontrar .

Passo 3

Sabemos que o fator integrante mu(y) = exp ( integral Q(y) , dy ) é dado por:
Isso significa que calculamos a integral de em relação a e depois aplicamos a função exponencial. Esse fator, quando multiplicado pela equação original, vai igualar as derivadas parciais e , tornando a equação exata.

Passo 4

Vamos aplicar isso na equação dada:
Aqui, podemos identificar:
Agora, calculamos dx + ( xy - sen y ) dy = 0 e M(x, y) = 1 e N(x, y) = xy - sen y :
My = 0 e Nx = 1y
Então,
Nx - My = 1y - 0 = 1y
E
Q(y) = Nx - MyM = 1/y1 = 1y

Passo 5

Agora, calculamos o fator integrante mu(y) = exp ( integral 1y , dy ) = exp(ln |y|) = y :
Então, o fator integrante é .

Passo 6

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante y cdot dx + y ( xy - sen y ) dy = 0 :
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a equação é exata:
Calculamos as derivadas parciais:
y , dx + (x - y sen y) dy = 0
Como Mnova = y e Nnova = x - y sen y , a equação é exata.

Passo 7

Agora que a equação é exata, sabemos que existe uma função partial Fpartial x = Mnova = y e partial Fpartial y = Nnova = x - y sen y tal que:
Vamos integrar F(x, y) = integral y , dx = yx + g(y) em relação a partial Fpartial y = x + g'(y) :
x + g'(y) = x - y sen y
Agora, derivamos g'(y) = -y sen y em relação a g(y) = integral -y sen y , dy :
u = y Rightarrow du = dy
Igualamos a dv = sen y , dy Rightarrow v = -cos y :
Então,
Integrando com respeito a g(y) = - ( y (-cos y) - integral -cos y , dy ) = y cos y - sen y + C :
Usamos integração por partes:
F(x, y) = yx + y cos y - sen y + C
Então,
Portanto, a função é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde yx + y cos y - sen y = C é a constante de integração.

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