Se y1 é solução da equação homogênea
y' + p(x) y = 0
e y2 é solução da equação não-homogênea
y' + p(x) y = g(x)
mostre que y = y1 + y2 é solução da equação não-homogênea.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem duas equações diferenciais aqui. A primeira é a equação homogênea:
e sabemos que y1 é uma solução dessa equação. A segunda é a equação não-homogênea:
com y2 sendo uma solução dela. O objetivo é mostrar que a soma das duas soluções, ou seja, , também resolve a equação não-homogênea. Para isso, vamos precisar entender como somar soluções de equações diferenciais e verificar se a soma satisfaz a equação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y, que é a soma das soluções:
Derivando ambos os lados em relação a x, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir y e y' na equação não-homogênea:
Substituindo, fica:

Passo 4

Vamos distribuir o p(x):
Agora, vamos reorganizar os termos:

Passo 5

Sabemos que y1 é solução da equação homogênea:
e y2 é solução da equação não-homogênea:
Substituindo essas igualdades na nossa expressão anterior:
Isso confirma que a equação é satisfeita.

Resposta

Portanto, mostramos que é, de fato, uma solução da equação não-homogênea .

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