Se
é solução da equação homogênea
e
é solução da equação não-homogênea
mostre que
é solução da equação não-homogênea.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem duas equações diferenciais aqui. A primeira é a equação homogênea:
e sabemos que
é uma solução dessa equação. A segunda é a equação não-homogênea:
com
sendo uma solução dela. O objetivo é mostrar que a soma das duas soluções, ou seja,
, também resolve a equação não-homogênea. Para isso, vamos precisar entender como somar soluções de equações diferenciais e verificar se a soma satisfaz a equação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
, que é a soma das soluções:
Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação não-homogênea:
Substituindo, fica:
Passo 4
Vamos distribuir o
:
Agora, vamos reorganizar os termos:
Passo 5
Sabemos que
é solução da equação homogênea:
e
é solução da equação não-homogênea:
Substituindo essas igualdades na nossa expressão anterior:
Isso confirma que a equação é satisfeita.
Resposta
Portanto, mostramos que
é, de fato, uma solução da equação não-homogênea
.