Considere a equação dos gases ideais P V=n R T, ou V=n R TP, onde P é a pressão, V o volume e T a temperatura absoluta. R é a constante dos gases e n o número de moles, que também pode ser considerado constante.
Considerando o volume como função da temperatura e da pressão (V=V(T, P)), calcule a sua diferencial total, d V.

Passo 1

Vamos resolver um exercício da Física que utiliza a equação dos gases ideais. A questão nos pede para calcular a diferencial total do volume $ V $ em função da temperatura $ T $ e da pressão $ P $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a diferencial total de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, lembrando a equação dos gases ideais:
P V = n R T
Podemos isolar o volume $ V $:
V
Aqui, $ n $ e $ R $ são constantes.

Passo 3

Para encontrar a diferencial total $ dV $, precisamos derivar $ V $ em relação a $ T $ e $ P $:
dV
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ T $ e a $ P $.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de $ V $ em relação a $ T $:
V
Porque $ n $, $ R $ e $ P $ são constantes em relação a $ T $.

Passo 5

Agora, calculamos a derivada parcial de $ V $ em relação a $ P $:
V
Aqui, aplicamos a regra da derivada para uma função que tem $ P $ no denominador.

Passo 6

Substituindo as derivadas parciais na expressão da diferencial total:
dV = ( n RP ) dT + ( -n R TP^2 ) dP
Simplificando:
dV = n RP dT - n R TP^2 dP

Resposta

A diferencial total do volume é:
dV = n RP , dT - n R TP^2 , dP

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