Considere a equação dos gases ideais
, ou
, onde
é a pressão,
o volume e
a temperatura absoluta.
é a constante dos gases e
o número de moles, que também pode ser considerado constante.
Usando novamente o critério de Euler verifique se a diferencial
é exata ou inexata e diga se a
pode ou não representar a variação de alguma propriedade?
Usando novamente o critério de Euler verifique se a diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a equação dos gases ideais, que é $ P V = n R T $. Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ o volume, $ T $ a temperatura absoluta, $ R $ é a constante dos gases e $ n $ é o número de moles (que está constante). Precisamos usar o critério de Euler para verificar se a diferencial $ P , dV $ é exata ou inexata e determinar se $ \int P , dV $ pode representar a variação de alguma propriedade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre diferenciais exatas e o critério de Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma diferencial exata. Em cálculo, uma diferencial $ M , dx + N , dy $ é exata se ela for o diferencial de alguma função $ f(x, y) $. Isso significa que existe uma função $ f $ tal que $ df = M , dx + N , dy $. Se não for exata, chamamos de inexata.
Passo 3
Agora, o critério de Euler nos ajuda a verificar se uma diferencial é exata. Para uma diferencial de duas variáveis $ M , dV + N , dT $, o critério diz que ela é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ T $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ V $:
Passo 4
No nosso caso, a diferencial é $ P , dV $. Vamos reescrever essa expressão de forma que fique na forma $ M , dV + N , dT $. Para isso, precisamos expressar $ P $ em termos de $ V $ e $ T $ usando a equação dos gases ideais.
Dada a equação $ P V = n R T $, podemos isolar $ P $:
Então, a diferencial fica:
Aqui, não há termo em $ dT $, então $ N = 0 $.
Passo 5
Aplicando o critério de Euler, precisamos encontrar $ \frac{\partial M}{\partial T} $ e $ \frac{\partial N}{\partial V} $.
Primeiro, identifiquemos $ M $ e $ N $:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 6
Segundo o critério de Euler, para que a diferencial seja exata, precisamos ter:
Mas vimos que:
Portanto, $ P , dV $ não é uma diferencial exata.
Passo 7
Como $ P , dV $ é uma diferencial inexata, o integral $ \int P , dV $ não pode representar a variação de uma propriedade termodinâmica específica. Isso significa que não existe uma função de estado cujo diferencial seja exatamente $ P , dV $.
Resposta
A diferencial $ P , dV $ é inexata segundo o critério de Euler, e portanto, o integral $ \int P , dV $ não representa a variação de nenhuma propriedade termodinâmica específica.