- Considere a Equação de Legendre de ordem 1:
Mostre que o ponto
é um ponto ordinário.
a) Encontre a relação de recorrência para os coeficientes
da solução em série
.
b) Determine a solução geral
em termos de
e
.
c) Mostre que existe uma solução polinomial (a série trunca) e escreva esse polinômio.
a) Encontre a relação de recorrência para os coeficientes
b) Determine a solução geral
c) Mostre que existe uma solução polinomial (a série trunca) e escreva esse polinômio.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede três coisas:
- Mostrar que o ponto
é um ponto ordinário. - (a) Encontrar a relação de recorrência para os coeficientes
da solução em série . - (b) Determinar a solução geral
em termos de e . - (c) Mostrar que existe uma solução polinomial (a série que truncou) e escrever esse polinômio.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes racionais em
. - Queremos solução em série de potências centrada em
: .
Passo 2
Mostrar que
é ponto ordinário.
Explicação do conceito (didática): para uma equação da forma
podemos escrever na forma padrão
dividindo por
(desde que esse fator não seja zero no ponto considerado). Então
Um ponto
é ordinário se
e
são analíticos (têm série de Taylor) em torno de
. Aqui
não é zero em
, logo
e
são funções racionais com denominador não nulo em
, portanto analíticas em
. Conclusão:
é ponto ordinário.
Comentário prático: isso nos garante que existe solução em série de potências em torno de
.
Passo 3
Escolha da série e derivadas (passo técnico).
Assumimos a solução em série centrada em
:
Derivando termo a termo (explico: isso é permitido porque ponto ordinário garante uniformidade local da série):
Passo 4
Substituição na equação e reindexação para igualar potências.
Substituímos em
. Escrevendo cada termo com potências
:
Primeiro termo
:
obtido reindexando
na expressão original de
.
Segundo termo
:
Terceiro termo
:
Quarto termo
:
Agora somamos todos os termos (todos devem somar zero para cada potência de
):
Para comparar coeficientes de
para todo
, observamos que os somatórios com início em
ou
dão termos nulos para
e
quando necessário; podemos, para uniformidade, usar a expressão abaixo válida para todo
(os termos que não existem são zero):
Pegando o coeficiente de
e igualando a zero, obtemos
Passo 5
Simplificação algébrica da condição de coeficientes e obtenção da recorrência.
Simplificamos o coeficiente multiplicando e reunindo termos em
:
Então a equação para coeficientes fica
Fatorando
(que não é zero para
), obtemos a relação mais simples
ou seja, para todo
,
Isto responde a letra (a): a relação de recorrência.
Nota didática: essa relação conecta
com
; isso significa que os coeficientes se separam em duas cadeias independentes — os de índices pares e os de índices ímpares — controladas por
e
respectivamente.
Passo 6
Análise das duas cadeias (pares e ímpares) e cálculo dos primeiros termos.
Começando pela cadeia ímpar, tome
na recorrência:
Como
, aplicando a recorrência para
obtemos
. Portanto todos os coeficientes ímpares além de
são zero:
A parte ímpar da série reduz-se a
.
Agora a cadeia par. Para
a recorrência dá
Para
:
Para
:
Observando o padrão, conjecturamos que, para
,
Verificação por indução rápida (didática): já vimos o caso
. Se vale para
, então pela recorrência com
temos
logo vale para
. Assim a fórmula é correta.
Passo 7
Escrever explicitamente a solução em série usando os coeficientes encontrados (resposta da letra (b)).
Reunindo as duas cadeias:
- Ímpar: apenas
. - Par:
no termo constante e, para , .
Portanto a solução geral em série é
Comentário didático: a série entre parênteses é a parte par da solução (infinita, em geral). A parte impar é apenas linear
.
Passo 8
Mostrar existência de solução polinomial e escrever esse polinômio (letra (c)).
Observação: a cadeia ímpar teve
e todos os demais
para
, então a parte ímpar da solução é simplesmente
— isto é exatamente um polinômio de grau
. Se escolhemos
e
, a solução inteira reduz ao polinômio de grau
Normalizando
obtemos o polinômio de Legendre de ordem
,
Observação final: não existe truncamento não-trivial da cadeia par (a menos que
), porque os coeficientes
permanecem não nulos proporcionais a
para todos os
. Assim a única solução polinomial não-trivial é a de grau
obtida pela escolha
.
Resposta
a)
para todo
.\n
b) com
(
) e
(
).\n
c) Existe a solução polinomial (tomando
obtemos
).
b)
c) Existe a solução polinomial