1. Considere a Equação de Legendre de ordem 1:
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0
Mostre que o ponto x=0 é um ponto ordinário.
a) Encontre a relação de recorrência para os coeficientes a_{n} da solução em série y(x)=\sum a_{n} x^{n}.
b) Determine a solução geral y(x) em termos de a_{0} e a_{1}.
c) Mostre que existe uma solução polinomial (a série trunca) e escreva esse polinômio.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0
e pede três coisas:
  1. Mostrar que o ponto x=0 é um ponto ordinário.
  2. (a) Encontrar a relação de recorrência para os coeficientes a_{n} da solução em série \displaystyle y(x)=\sum a_{n} x^{n}.
  3. (b) Determinar a solução geral y(x) em termos de a_{0} e a_{1}.
  4. (c) Mostrar que existe uma solução polinomial (a série que truncou) e escrever esse polinômio.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes racionais em x.
  • Queremos solução em série de potências centrada em x=0: y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.

Passo 2

Mostrar que x=0 é ponto ordinário.
Explicação do conceito (didática): para uma equação da forma
(1-x^2)y'' -2x y' + 2y = 0
podemos escrever na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
dividindo por (1-x^2) (desde que esse fator não seja zero no ponto considerado). Então
p(x) = \frac{-2x}{1-x^2},\qquad q(x) = \frac{2}{1-x^2}.
Um ponto x_0 é ordinário se p(x) e q(x) são analíticos (têm série de Taylor) em torno de x_0. Aqui 1-x^2 não é zero em x=0, logo p(x) e q(x) são funções racionais com denominador não nulo em x=0, portanto analíticas em x=0. Conclusão: x=0 é ponto ordinário.
Comentário prático: isso nos garante que existe solução em série de potências em torno de x=0.

Passo 3

Escolha da série e derivadas (passo técnico).
Assumimos a solução em série centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
Derivando termo a termo (explico: isso é permitido porque ponto ordinário garante uniformidade local da série):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}.

Passo 4

Substituição na equação e reindexação para igualar potências.
Substituímos em (1-x^2)y'' - 2x y' + 2y = 0. Escrevendo cada termo com potências x^{n}:
Primeiro termo y'':
y'' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n},
obtido reindexando n\mapsto n+2 na expressão original de y''.
Segundo termo -x^{2}y'':
-x^{2}y'' = -\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n} x^{n}.
Terceiro termo -2x y':
-2x y' = -2\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}.
Quarto termo 2y:
2y = 2\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
Agora somamos todos os termos (todos devem somar zero para cada potência de x):
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n} x^{n} - 2\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} + 2\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = 0.
Para comparar coeficientes de x^{n} para todo n\ge 0, observamos que os somatórios com início em n=2 ou n=1 dão termos nulos para n=0 e n=1 quando necessário; podemos, para uniformidade, usar a expressão abaixo válida para todo n\ge 0 (os termos que não existem são zero):
Pegando o coeficiente de x^{n} e igualando a zero, obtemos
(n+2)(n+1) a_{n+2} - n(n-1)a_{n} - 2n a_{n} + 2 a_{n} = 0.

Passo 5

Simplificação algébrica da condição de coeficientes e obtenção da recorrência.
Simplificamos o coeficiente multiplicando e reunindo termos em a_{n}:
- n(n-1) - 2n + 2 = -\big(n^{2}+n-2\big) = - (n+2)(n-1).
Então a equação para coeficientes fica
(n+2)(n+1) a_{n+2} - (n+2)(n-1) a_{n} = 0.
Fatorando (n+2) (que não é zero para n\ge 0), obtemos a relação mais simples
(n+1) a_{n+2} - (n-1) a_{n} = 0,
ou seja, para todo n\ge 0,
\boxed{a_{n+2}=\frac{n-1}{\,n+1\,}\,a_{n}.}
Isto responde a letra (a): a relação de recorrência.
Nota didática: essa relação conecta a_{n+2} com a_n; isso significa que os coeficientes se separam em duas cadeias independentes — os de índices pares e os de índices ímpares — controladas por a_0 e a_1 respectivamente.

Passo 6

Análise das duas cadeias (pares e ímpares) e cálculo dos primeiros termos.
Começando pela cadeia ímpar, tome n=1 na recorrência:
a_{3}=\frac{1-1}{1+1}a_{1}=0.
Como a_{3}=0, aplicando a recorrência para n=3,5,\dots obtemos a_{5}=0, a_{7}=0,\dots. Portanto todos os coeficientes ímpares além de a_{1} são zero:
a_{2k+1}=0\quad\text{para }k\ge 1.
A parte ímpar da série reduz-se a a_{1} x.
Agora a cadeia par. Para n=0 a recorrência dá
a_{2}=\frac{0-1}{0+1}a_{0} = -a_{0}.
Para n=2:
a_{4}=\frac{2-1}{2+1}a_{2}=\frac{1}{3}a_{2}=\frac{1}{3}(-a_{0})=-\frac{a_{0}}{3}.
Para n=4:
a_{6}=\frac{4-1}{4+1}a_{4}=\frac{3}{5}\left(-\frac{a_{0}}{3}\right)=-\frac{a_{0}}{5}.
Observando o padrão, conjecturamos que, para k\ge 1,
\boxed{a_{2k} = -\frac{a_{0}}{2k-1}.}
Verificação por indução rápida (didática): já vimos o caso k=1. Se vale para k, então pela recorrência com n=2k temos
a_{2k+2}=\frac{2k-1}{2k+1} a_{2k}=\frac{2k-1}{2k+1}\left(-\frac{a_{0}}{2k-1}\right)=-\frac{a_{0}}{2k+1},
logo vale para k+1. Assim a fórmula é correta.

Passo 7

Escrever explicitamente a solução em série usando os coeficientes encontrados (resposta da letra (b)).
Reunindo as duas cadeias:
  • Ímpar: apenas a_{1}x.
  • Par: a_{0} no termo constante e, para k\ge 1, a_{2k}=-\dfrac{a_{0}}{2k-1}.
Portanto a solução geral em série é
\begin{aligned} y(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + \sum_{k=1}^{\infty} a_{2k} x^{2k} + a_{1} x \\\ &= a_{0}\left(1 - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2k-1}\right) + a_{1} x. \end{aligned}
Comentário didático: a série entre parênteses é a parte par da solução (infinita, em geral). A parte impar é apenas linear a_{1}x.

Passo 8

Mostrar existência de solução polinomial e escrever esse polinômio (letra (c)).
Observação: a cadeia ímpar teve a_{3}=0 e todos os demais a_{2k+1}=0 para k\ge1, então a parte ímpar da solução é simplesmente a_{1} x — isto é exatamente um polinômio de grau 1. Se escolhemos a_{0}=0 e a_{1}\neq 0, a solução inteira reduz ao polinômio de grau 1
\boxed{y(x)=a_{1} x.}
Normalizando a_{1}=1 obtemos o polinômio de Legendre de ordem 1,
P_{1}(x)=x.
Observação final: não existe truncamento não-trivial da cadeia par (a menos que a_{0}=0), porque os coeficientes a_{2k} permanecem não nulos proporcionais a a_0 para todos os k. Assim a única solução polinomial não-trivial é a de grau 1 obtida pela escolha a_{0}=0.

Resposta

a) \displaystyle a_{n+2}=\frac{n-1}{\,n+1\,}a_{n} para todo n\ge 0.\n
b) \displaystyle y(x)=a_{0}\Big(1-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}}{2k-1}\Big)+a_{1}x, com a_{2k}=-\dfrac{a_{0}}{2k-1} ( k\ge1) e a_{2k+1}=0 ( k\ge1).\n
c) Existe a solução polinomial y(x)=a_{1}x (tomando a_{1}=1 obtemos P_{1}(x)=x).

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