1. Considere a seguinte equação diferencial:
x^{2}(x-2)^{2} y^{\prime \prime}+2(x-2) y^{\prime}+(x+1) y=0
a) Identifique todos os pontos singulares da equação no plano finito.
b) Classifique cada ponto singular encontrado como Regular ou Irregular, justificando através dos limites:
\lim _{x \rightarrow x_{0}}\left(x-x_{0}\right) p(x) \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}}\left(x-x_{0}\right)^{2} q(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^{2}(x-2)^{2} y^{\prime\prime}+2(x-2) y^{\prime}+(x+1) y=0
e pede:
a) identificar todos os pontos singulares no plano finito;
b) classificar cada ponto singular como Regular ou Irregular usando os limites
\lim_{x\to x_{0}}(x-x_{0})p(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to x_{0}}(x-x_{0})^{2}q(x),
onde p e q são os coeficientes após colocar a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0.
As informações relevantes do enunciado são exatamente os coeficientes mostrados na equação acima; não há figuras ou dados adicionais.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significam os termos que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Um ponto x_{0} é ponto ordinário se o coeficiente de y'' não se anula em x_{0}. Caso o coeficiente de y'' seja zero em x_{0}, dizemos que x_{0} é um ponto singular. Aqui só precisamos olhar para o plano finito, então verificamos zeros do fator que multiplica y''.
  • Para classificar um ponto singular x_{0} como regular ou irregular colocamos a equação na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
isto é, dividimos tudo pelo coeficiente de y''. Então:
  • Se ambos os limites
\lim_{x\to x_{0}}(x-x_{0})p(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to x_{0}}(x-x_{0})^{2}q(x)
existem finitos, o ponto x_{0} é um ponto singular regular (ponto regular singular).
  • Se pelo menos um desses limites diverge (ou não existe finito), o ponto é singular irregular.
Vou aplicar isso diretamente ao problema.

Passo 3

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por o coeficiente de y'', que é x^{2}(x-2)^{2}. Assim obtemos p(x) e q(x):
p(x)=\frac{2(x-2)}{x^{2}(x-2)^{2}}=\frac{2}{x^{2}(x-2)},
q(x)=\frac{x+1}{x^{2}(x-2)^{2}}.
Expliquei: para obter p e q peguei cada termo que multiplica y' e y e dividi pelo coeficiente de y''.

Passo 4

Identificamos os pontos singulares finitos: são as soluções de
x^{2}(x-2)^{2}=0,
isto é, x=0 e x=2. Esses dois pontos fazem o coeficiente de y'' ser zero, logo são os pontos singulares em questão. (Multiplicidades não eliminam o fato de serem singulares; aqui cada um aparece com multiplicidade 2, mas a classificação depende dos limites acima.)

Passo 5

Vamos analisar x_{0}=0. Calculamos os dois limites pedidos:
Primeiro
(x-0)p(x)=x\cdot\frac{2}{x^{2}(x-2)}=\frac{2}{x(x-2)}.
Para ver o comportamento quando x\to0 é útil aproximar x-2\approx -2, então
\frac{2}{x(x-2)}\approx \frac{2}{x(-2)}=-\frac{1}{x},
que diverge quando x\to0. Formalmente, ao mandar x\to0 o denominador tende a 0 e o numerador é 2, portanto
\lim_{x\to0} x\,p(x)=\infty,
ou seja, o limite não existe finito.
Agora o segundo limite:
(x-0)^{2}q(x)=x^{2}\cdot\frac{x+1}{x^{2}(x-2)^{2} }=\frac{x+1}{(x-2)^{2}}.
Ao tomar x\to0 obtemos
\lim_{x\to0} x^{2}q(x)=\frac{0+1}{(0-2)^{2}}=\frac{1}{4},
que é finito.
Conclusão parcial para x_{0}=0: o primeiro limite diverge e o segundo é finito. Como é necessário que ambos sejam finitos para ser um ponto singular regular, concluímos que x=0 é um ponto singular irregular.

Passo 6

Agora analisamos x_{0}=2. Calculamos os limites:
Primeiro
(x-2)p(x)=(x-2)\cdot\frac{2}{x^{2}(x-2)}=\frac{2}{x^{2}}.
Ao tomar x\to2 obtemos
\lim_{x\to2}(x-2)p(x)=\frac{2}{2^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},
que é finito.
Segundo
(x-2)^{2}q(x)=(x-2)^{2}\cdot\frac{x+1}{x^{2}(x-2)^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}}.
Ao tomar x\to2 obtemos
\lim_{x\to2}(x-2)^{2}q(x)=\frac{2+1}{2^{2}}=\frac{3}{4},
também finito.
Como ambos os limites são finitos, x=2 é um ponto singular regular.

Passo 7

Resumo do raciocínio (já justificado acima): os únicos pontos singulares finitos são x=0 e x=2. Ao calcular os limites definidos pelas condições de regularidade, vimos que em x=0 o limite \lim_{x\to0} x\,p(x) diverge (logo x=0 é irregular), enquanto em x=2 ambos os limites são finitos (logo x=2 é regular).

Resposta

a) x=0 e x=2.\n
b) x=0 é singular irregular. \n
b) x=2 é singular regular.

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