- Considere a seguinte equação diferencial:
a) Identifique todos os pontos singulares da equação no plano finito.
b) Classifique cada ponto singular encontrado como Regular ou Irregular, justificando através dos limites:
b) Classifique cada ponto singular encontrado como Regular ou Irregular, justificando através dos limites:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede:
a) identificar todos os pontos singulares no plano finito;
b) classificar cada ponto singular como Regular ou Irregular usando os limites
a) identificar todos os pontos singulares no plano finito;
b) classificar cada ponto singular como Regular ou Irregular usando os limites
onde
e
são os coeficientes após colocar a equação na forma padrão
.
As informações relevantes do enunciado são exatamente os coeficientes mostrados na equação acima; não há figuras ou dados adicionais.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significam os termos que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
-
Um ponto
é ponto ordinário se o coeficiente de não se anula em . Caso o coeficiente de seja zero em , dizemos que é um ponto singular. Aqui só precisamos olhar para o plano finito, então verificamos zeros do fator que multiplica . -
Para classificar um ponto singular
como regular ou irregular colocamos a equação na forma padrão
isto é, dividimos tudo pelo coeficiente de
. Então:
- Se ambos os limites
existem finitos, o ponto
é um ponto singular regular (ponto regular singular).
- Se pelo menos um desses limites diverge (ou não existe finito), o ponto é singular irregular.
Vou aplicar isso diretamente ao problema.
Passo 3
Colocamos a equação na forma padrão dividindo por o coeficiente de
, que é
. Assim obtemos
e
:
Expliquei: para obter
e
peguei cada termo que multiplica
e
e dividi pelo coeficiente de
.
Passo 4
Identificamos os pontos singulares finitos: são as soluções de
isto é,
e
. Esses dois pontos fazem o coeficiente de
ser zero, logo são os pontos singulares em questão. (Multiplicidades não eliminam o fato de serem singulares; aqui cada um aparece com multiplicidade
, mas a classificação depende dos limites acima.)
Passo 5
Vamos analisar
. Calculamos os dois limites pedidos:
Primeiro
Para ver o comportamento quando
é útil aproximar
, então
que diverge quando
. Formalmente, ao mandar
o denominador tende a
e o numerador é
, portanto
ou seja, o limite não existe finito.
Agora o segundo limite:
Ao tomar
obtemos
que é finito.
Conclusão parcial para
: o primeiro limite diverge e o segundo é finito. Como é necessário que ambos sejam finitos para ser um ponto singular regular, concluímos que
é um ponto singular irregular.
Passo 6
Agora analisamos
. Calculamos os limites:
Primeiro
Ao tomar
obtemos
que é finito.
Segundo
Ao tomar
obtemos
também finito.
Como ambos os limites são finitos,
é um ponto singular regular.
Passo 7
Resumo do raciocínio (já justificado acima): os únicos pontos singulares finitos são
e
. Ao calcular os limites definidos pelas condições de regularidade, vimos que em
o limite
diverge (logo
é irregular), enquanto em
ambos os limites são finitos (logo
é regular).
Resposta
a)
e
.\n
b) é singular irregular. \n
b) é singular regular.
b)
b)