- Resolva o problema de valor inicial para o sistema amortecido abaixo, sujeito a um impulso unitário em
:
Passo 1
O enunciado fornece o seguinte problema de valor inicial com impulso em
:
Informações relevantes e o que nos pedem:
- A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, e possui um termo forçante que é um impulso unitário localizado em
, isto é . - Condições iniciais:
e . - Precisamos encontrar a solução
para (ou para todo , mas a presença do impulso em torna interessante separar os regimes e ). - Nenhuma outra informação foi dada (por exemplo, não há figura). Vamos resolver o problema completo e explicar cada passo.
Passo 2
Escolha do método e por quê: vou usar a transformada de Laplace. Por quê? Porque:
- A transformada de Laplace lida muito bem com condições iniciais e com termos distribuiçãoais como
. - Ela transforma derivadas em polinômios em
multiplicando a transformada , o que torna a equação diferencial em uma equação algébrica simples de resolver. - Depois aplicamos a transformada inversa e, quando aparecer um fator
, usamos o teorema de deslocamento no tempo (shifting), que trata exatamente de impulsos deslocados no tempo.
Agora passo a passar as fórmulas que vamos usar — explicando cada uma:
- Transformada de Laplace da derivada primeira:
. Aqui . - Transformada de Laplace da derivada segunda:
. - Transformada de Laplace do impulso deslocado:
.
Vou aplicar essas fórmulas ao nosso problema. Lembrete: as condições iniciais sãoe , o que simplifica bastante as expressões.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace termo a termo à equação
temos, usando as fórmulas do passo anterior e as condições iniciais:
Com
isto vira
Agrupando os termos em
:
Logo,
Passo 4
Agora precisamos fazer a transformada inversa de
. Vou tratar a parte racional primeiro:
Completo o quadrado no denominador para reconhecermos uma forma padrão:
Então
Conhecemos a transformada de Laplace padrão:
-
, porque .
Para obter o numeradorem vez de , multiplico por . Assim a função no tempo cuja transformada é é
Isto significa
Passo 5
Voltando a
, lembramos que ele tem o fator
:
Usamos agora o teorema do deslocamento (shifting) na transformada inversa:
- Se
, então , onde é o degrau unitário deslocado.
Aquie tem a função correspondende (ver passo anterior). Portanto, aplicando o deslocamento:
Substituindo
:
Esta é a solução no tempo real. Interpretação prática: para
temos
, logo
antes do impulso (isso faz sentido: com condições iniciais nulas e força zero até
, sistema fica em repouso). Em
ocorre o impulso e, para
, surge a resposta livre do sistema a partir das condições iniciais impostas pelo impulso.
Passo 6
Verificação rápida da consistência física (opcional, mas didático):
- Antes do impulso,
para . Assim e . - Integrando a equação em torno de
(de a ) e passando ao limite , a contribuição da segunda derivada dá enquanto as integrais dos termos com e tendem a zero, e a integral do delta dá . Logo . Como , então . - A solução encontrada satisfaz isso: substituindo
em dá . Calculando a derivada no instante imediatamente após o impulso (ou examinando com do passo 4), encontramos . Isso confirma que a solução respeita o salto na velocidade imposto pelo impulso unitário.