1. Resolva o problema de valor inicial para o sistema amortecido abaixo, sujeito a um impulso unitário em t=\pi :
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=\delta(t-\pi) \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte problema de valor inicial com impulso em t=\pi:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=\delta(t-\pi) \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
Informações relevantes e o que nos pedem:
  • A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, e possui um termo forçante que é um impulso unitário localizado em t=\pi, isto é \delta(t-\pi).
  • Condições iniciais: y(0)=0 e y'(0)=0.
  • Precisamos encontrar a solução y(t) para t\ge0 (ou para todo t, mas a presença do impulso em t=\pi torna interessante separar os regimes t<\pi e t\ge\pi).
  • Nenhuma outra informação foi dada (por exemplo, não há figura). Vamos resolver o problema completo e explicar cada passo.

Passo 2

Escolha do método e por quê: vou usar a transformada de Laplace. Por quê? Porque:
  • A transformada de Laplace lida muito bem com condições iniciais e com termos distribuiçãoais como \delta(t-a).
  • Ela transforma derivadas em polinômios em s multiplicando a transformada Y(s), o que torna a equação diferencial em uma equação algébrica simples de resolver.
  • Depois aplicamos a transformada inversa e, quando aparecer um fator e^{-a s}, usamos o teorema de deslocamento no tempo (shifting), que trata exatamente de impulsos deslocados no tempo.
Agora passo a passar as fórmulas que vamos usar — explicando cada uma:
  • Transformada de Laplace da derivada primeira: \displaystyle \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0). Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
  • Transformada de Laplace da derivada segunda: \displaystyle \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0).
  • Transformada de Laplace do impulso deslocado: \displaystyle \mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-a s}.
    Vou aplicar essas fórmulas ao nosso problema. Lembrete: as condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0, o que simplifica bastante as expressões.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace termo a termo à equação
y'' + 2y' + 5y = \delta(t-\pi)
temos, usando as fórmulas do passo anterior e as condições iniciais:
\mathcal{L}\{y''\} + 2\mathcal{L}\{y'\} + 5\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\}.
Com y(0)=0,\; y'(0)=0 isto vira
\big(s^2 Y(s) - s\cdot 0 - 0\big) + 2\big(s Y(s) - 0\big) + 5Y(s) = e^{-\pi s}.
Agrupando os termos em Y(s):
(s^2 + 2s + 5) Y(s) = e^{-\pi s}.
Logo,
Y(s) = \frac{e^{-\pi s}}{s^2 + 2s + 5}.

Passo 4

Agora precisamos fazer a transformada inversa de Y(s). Vou tratar a parte racional primeiro:
\frac{1}{s^2 + 2s + 5}.
Completo o quadrado no denominador para reconhecermos uma forma padrão:
s^2 + 2s + 5 = (s+1)^2 + 4.
Então
\frac{1}{s^2 + 2s + 5} = \frac{1}{(s+1)^2 + 2^2}.
Conhecemos a transformada de Laplace padrão:
  • \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-t}\sin(2t)\} = \frac{2}{(s+1)^2 + 2^2}, porque \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\} = \dfrac{b}{(s+a)^2 + b^2}.
    Para obter o numerador 1 em vez de 2, multiplico por \tfrac{1}{2}. Assim a função no tempo cuja transformada é \dfrac{1}{(s+1)^2+4} é
f(t)=\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t).
Isto significa
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s^2+2s+5}.

Passo 5

Voltando a Y(s), lembramos que ele tem o fator e^{-\pi s}:
Y(s) = e^{-\pi s}\cdot \frac{1}{s^2 + 2s + 5}.
Usamos agora o teorema do deslocamento (shifting) na transformada inversa:
  • Se \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s), então \mathcal{L}\{u(t-a) f(t-a)\} = e^{-a s} F(s), onde u(t-a) é o degrau unitário deslocado.
    Aqui a=\pi e F(s)=\dfrac{1}{s^2+2s+5} tem a função correspondende f(t)=\dfrac{1}{2}e^{-t}\sin(2t) (ver passo anterior). Portanto, aplicando o deslocamento:
y(t)=u(t-\pi)\, f(t-\pi).
Substituindo f:
y(t)=u(t-\pi)\cdot \frac{1}{2} e^{-(t-\pi)} \sin\big(2(t-\pi)\big).
Esta é a solução no tempo real. Interpretação prática: para 0\le t<\pi temos u(t-\pi)=0, logo y(t)=0 antes do impulso (isso faz sentido: com condições iniciais nulas e força zero até \pi, sistema fica em repouso). Em t=\pi ocorre o impulso e, para t>\pi, surge a resposta livre do sistema a partir das condições iniciais impostas pelo impulso.

Passo 6

Verificação rápida da consistência física (opcional, mas didático):
  • Antes do impulso, y(t)=0 para t<\pi. Assim y(\pi^-)=0 e y'(\pi^-)=0.
  • Integrando a equação em torno de t=\pi (de \pi-\varepsilon a \pi+\varepsilon) e passando ao limite \varepsilon\to0, a contribuição da segunda derivada dá y'(\pi^+)-y'(\pi^-) enquanto as integrais dos termos com y' e y tendem a zero, e a integral do delta dá 1. Logo y'(\pi^+)-y'(\pi^-)=1. Como y'(\pi^-)=0, então y'(\pi^+)=1.
  • A solução encontrada satisfaz isso: substituindo t=\pi em y(t) y(\pi)=0. Calculando a derivada no instante imediatamente após o impulso (ou examinando f'(0) com f do passo 4), encontramos y'(\pi^+)=1. Isso confirma que a solução respeita o salto na velocidade imposto pelo impulso unitário.

Resposta

y(t)=u(t-\pi)\,\frac{1}{2}e^{-(t-\pi)}\sin\big(2(t-\pi)\big)

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