Considere a equação linear y^{\prime}+p(x) y=q(x). Multiplique ambos lados pela função \mu(x). Compare o lado esquerdo com (\mu y)^{\prime}. Determine \mu. Resolva para encontrar y.

Passo 1

O enunciado dá a equação linear de primeira ordem
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x),
e pede duas coisas: multiplicar ambos os lados por uma função \mu(x), comparar o lado esquerdo com (\mu y)^{\prime}, determinar \mu e, finalmente, resolver para encontrar y.
Informações relevantes dadas:
  • p(x) e q(x) são funções conhecidas de x (assume-se contínuas).
  • A incógnita é y(x).
  • A função \mu(x) deve ser escolhida de modo que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de um produto (\mu y)^{\prime}.

Passo 2

Multiplico a equação por \mu(x). Obtém-se
\mu(x)\,y^{\prime}+\mu(x)\,p(x)\,y=\mu(x)\,q(x).
Agora escrevo explicitamente a derivada do produto (\mu y) usando a regra do produto. A regra do produto diz que, para duas funções dependentes de x, u(x) e v(x),
(u v)^{\prime}=u^{\prime}v+u v^{\prime}.
Aplicando com u=\mu e v=y,
(\mu y)^{\prime}=\mu^{\prime}y+\mu y^{\prime}.
Queremos que a expressão que obtivemos ao multiplicar a equação seja exatamente essa derivada, ou seja, comparar
\mu y^{\prime}+\mu p y \quad\text{com}\quad \mu^{\prime}y+\mu y^{\prime}.
Para que essas duas expressões coincidam para todo y é necessário que os coeficientes de y sejam iguais, isto é,
\mu p=\mu^{\prime}.

Passo 3

A igualdade \mu^{\prime}=\mu p é uma equação diferencial simples para \mu. Reescrevo como uma equação separável dividindo por \mu (assumindo \mu\neq0):
\frac{\mu^{\prime}}{\mu}=p(x).
Integrando ambos os lados em relação a x,
\int \frac{\mu^{\prime}}{\mu}\,dx=\int p(x)\,dx.
O lado esquerdo é \ln|\mu|, então
\ln|\mu(x)|=\int p(x)\,dx + C_0,
onde C_0 é uma constante de integração. Exponenciando,
|\mu(x)|=e^{\int p(x)\,dx + C_0}=e^{C_0}\,e^{\int p(x)\,dx}.
A constante multiplicativa e^{C_0} pode ser absorvida porque qualquer múltiplo não-nulo de um fator integrante também é fator integrante; portanto podemos escolher a forma conveniente
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
(Isto determina \mu até um fator multiplicativo constante.)

Passo 4

Com essa escolha de \mu, a equação original multiplicada por \mu fica
(\mu y)^{\prime}=\mu q.
Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int (\mu y)^{\prime}\,dx=\int \mu(x)\,q(x)\,dx.
O lado esquerdo integra para \mu(x)\,y(x), logo
\mu(x)\,y(x)=\int \mu(x)\,q(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração final. Finalmente, isolando y(x),
y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)\,q(x)\,dx + C\right).
Lembre-se que \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.

Passo 5

Comentário didático curtinho: a ideia é construir um fator \mu que transforme o lado esquerdo numa derivada total (\mu y)^{\prime}, para que se possa integrar facilmente. Encontramos \mu exigindo que \mu p=\mu^{\prime}, o que leva a \mu=e^{\int p}. Depois é só integrar (\mu y)^{\prime}=\mu q.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (só leitura, sem necessidade de cálculo longo): se \,y^{\prime}+2y=e^{3x}, então \mu=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}, e
(e^{2x}y)^{\prime}=e^{2x}e^{3x}=e^{5x},
logo e^{2x}y=\int e^{5x}dx=\tfrac{1}{5}e^{5x}+C, e por fim y=\tfrac{1}{5}e^{3x}+C e^{-2x}. Isso ilustra o procedimento passo a passo.

Resposta

\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}
y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)\,q(x)\,dx + C\right)

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