Considere a equação linear
. Multiplique ambos lados pela função
. Compare o lado esquerdo com
. Determine
. Resolva para encontrar
.
Passo 1
O enunciado dá a equação linear de primeira ordem
e pede duas coisas: multiplicar ambos os lados por uma função
, comparar o lado esquerdo com
, determinar
e, finalmente, resolver para encontrar
.
Informações relevantes dadas:
-
e são funções conhecidas de (assume-se contínuas). - A incógnita é
. - A função
deve ser escolhida de modo que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo se torne a derivada de um produto .
Passo 2
Multiplico a equação por
. Obtém-se
Agora escrevo explicitamente a derivada do produto
usando a regra do produto. A regra do produto diz que, para duas funções dependentes de
,
e
,
Aplicando com
e
,
Queremos que a expressão que obtivemos ao multiplicar a equação seja exatamente essa derivada, ou seja, comparar
Para que essas duas expressões coincidam para todo
é necessário que os coeficientes de
sejam iguais, isto é,
Passo 3
A igualdade
é uma equação diferencial simples para
. Reescrevo como uma equação separável dividindo por
(assumindo
):
Integrando ambos os lados em relação a
,
O lado esquerdo é
, então
onde
é uma constante de integração. Exponenciando,
A constante multiplicativa
pode ser absorvida porque qualquer múltiplo não-nulo de um fator integrante também é fator integrante; portanto podemos escolher a forma conveniente
(Isto determina
até um fator multiplicativo constante.)
Passo 4
Com essa escolha de
, a equação original multiplicada por
fica
Agora integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
, logo
onde
é a constante de integração final. Finalmente, isolando
,
Lembre-se que
.
Passo 5
Comentário didático curtinho: a ideia é construir um fator
que transforme o lado esquerdo numa derivada total
, para que se possa integrar facilmente. Encontramos
exigindo que
, o que leva a
. Depois é só integrar
.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (só leitura, sem necessidade de cálculo longo): se
, então
, e
logo
, e por fim
. Isso ilustra o procedimento passo a passo.