Resolver as equações
x \frac{d y}{d x}=2 x+3 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,\frac{dy}{dx}=2x+3y
e pede para encontrar as funções y(x) que satisfazem essa relação. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve o termo x multiplicando \dfrac{dy}{dx}, portanto o ponto x=0 é um ponto singular (não dá para dividir por x em x=0 sem cuidado).
  • O objetivo é obter a solução geral (com constante arbitrária) válida nos intervalos onde a transformação necessária for permitida (tipicamente x\neq0).

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por x — lembrando que isso só é válido quando x\neq0:
\frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}\,y=2.
Aqui a equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) com P(x)=-\dfrac{3}{x} e Q(x)=2. A divisão é uma manipulação algébrica clássica para transformar numa equação linear padrão.

Passo 3

Aplico o método do fator integrante. Regra rápida: para
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Aqui P(x)=-\dfrac{3}{x}, então calculo
\int P(x)\,dx=\int -\frac{3}{x}\,dx=-3\ln|x|=\ln|x|^{-3}.
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=e^{\ln|x|^{-3}}=|x|^{-3}.
Para trabalhar em um intervalo onde x>0 ou x<0 posso usar simplesmente \mu(x)=x^{-3} (o sinal absoluto só indica que o procedimento vale separadamente para x>0 e x<0).

Passo 4

Multiplico a equação padrão por \mu(x)=x^{-3}. A equação fica
x^{-3}\frac{dy}{dx}-3x^{-4}y=2x^{-3}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (x^{-3}y) (isso vem da regra do produto: (x^{-3}y)'=x^{-3}y'+(x^{-3})'y e (x^{-3})'=-3x^{-4}). Assim obtenho a forma exata
\frac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big)=2x^{-3}.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big)\,dx = \int 2x^{-3}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para x^{-3}y. O lado direito: use \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n=-3. Assim
\int 2x^{-3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = -x^{-2}.
Então
x^{-3}y = -x^{-2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolo y multiplicando ambos os lados por x^{3}:
y = x^{3}\big(-x^{-2}+C\big) = -x + Cx^{3}.
Esta é a solução geral obtida para x\neq0. Faço uma verificação rápida: calcule \dfrac{dy}{dx}=-1+3Cx^{2}, então
x\frac{dy}{dx}=x(-1+3Cx^{2})=-x+3Cx^{3}
e
2x+3y=2x+3(-x+Cx^{3})=-x+3Cx^{3},
portanto a igualdade é satisfeita, confirmando a solução.

Passo 7

Observações sobre x=0: a equação original é singular em x=0. Se quisermos estender a solução ao ponto x=0, a equação original impõe 0=2\cdot 0+3y(0), ou seja y(0)=0. A família y(x)=-x+Cx^{3} satisfaz y(0)=0 para qualquer C, então cada solução definida em x\neq0 pode ser continuamente estendida em x=0 atribuindo y(0)=0. Note que a resolução em termos de derivada no ponto x=0 não é imposta pela equação (porque o coeficiente de y' é zero em x=0).

Resposta

y=-x+Cx^{3}

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