Resolver as equações
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar as funções
que satisfazem essa relação. Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve o termo
multiplicando , portanto o ponto é um ponto singular (não dá para dividir por em sem cuidado). - O objetivo é obter a solução geral (com constante arbitrária) válida nos intervalos onde a transformação necessária for permitida (tipicamente
).
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, dividindo por
— lembrando que isso só é válido quando
:
Aqui a equação tem a forma
com
e
. A divisão é uma manipulação algébrica clássica para transformar numa equação linear padrão.
Passo 3
Aplico o método do fator integrante. Regra rápida: para
o fator integrante é
Aqui
, então calculo
Portanto o fator integrante é
Para trabalhar em um intervalo onde
ou
posso usar simplesmente
(o sinal absoluto só indica que o procedimento vale separadamente para
e
).
Passo 4
Multiplico a equação padrão por
. A equação fica
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
(isso vem da regra do produto:
e
). Assim obtenho a forma exata
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. O lado direito: use
para
. Assim
Então
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolo
multiplicando ambos os lados por
:
Esta é a solução geral obtida para
. Faço uma verificação rápida: calcule
, então
e
portanto a igualdade é satisfeita, confirmando a solução.
Passo 7
Observações sobre
: a equação original é singular em
. Se quisermos estender a solução ao ponto
, a equação original impõe
, ou seja
. A família
satisfaz
para qualquer
, então cada solução definida em
pode ser continuamente estendida em
atribuindo
. Note que a resolução em termos de derivada no ponto
não é imposta pela equação (porque o coeficiente de
é zero em
).