Considere a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x-y-1}{x+y-3}
(a) A equação é separável? Homogênea?
(b) Determine h, k de modo que a equação seja da forma
\frac{d Y}{d X}=\frac{X-Y}{X+Y}
Considere para tal x=X+h, y=Y+k.
(c) Resolva para y.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Foi dada a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x-y-1}{x+y-3}.
  • Perguntas:
    (a) A equação é separável? A equação é homogênea?
    (b) Encontrar h e k tais que, com a mudança de variáveis x = X + h,\qquad y = Y + k,a equação passe a ter a forma \frac{dY}{dX}=\frac{X-Y}{X+Y}.(c) Resolver a equação e obter y em função de x (solução geral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A razão das derivadas é um quociente de expressões lineares em x e y, com termos constantes -1 e -3.
  • Espera-se, na parte (b), uma translação do sistema de coordenadas (isto é, escolher h,k para anular constantes).

Passo 2

Verificando se a equação é separável.
  • Definição (explicação didática): uma equação diferencial de primeira ordem dy/dx = F(x,y) é separável se F(x,y) pode ser escrita como produto de uma função só de x por uma função só de y: F(x,y)=A(x)\,B(y).Nesse caso pode-se escrever \dfrac{dy}{dx}=A(x)B(y) e separar variáveis como \dfrac{dy}{B(y)}=A(x)\,dx.
  • Aplicando ao nosso F(x,y)=\dfrac{x-y-1}{x+y-3}. Tentar ver se existe fatoração do tipo A(x)B(y) falha porque o numerador e denominador misturam x e y linearmente e há termos constantes. Formalmente, se fosse separável, o produto A(x)B(y) teria produto de funções que não dependem de ambos; aqui não é possível fatorar daquele modo para todos x,y.
  • Conclusão: a equação não é separável.

Passo 3

Verificando se a equação é homogênea.
  • Definição (explicação didática): uma função F(x,y) é homogênea de grau zero se, para todo \lambda\neq0, F(\lambda x,\lambda y)=F(x,y).Para uma equação diferencial da forma dy/dx=F(x,y), isso significa que F(x,y) depende apenas da razão y/x (ou seja, é função de v=y/x).
  • No nosso caso F(x,y)=\frac{x-y-1}{x+y-3}.Repare que aparecem os termos constantes -1 e -3. Esses termos impedem que F(\lambda x,\lambda y)=F(x,y) para todo \lambda (por exemplo, ao multiplicar x,y por \lambda os termos constantes não se escalam).
  • Portanto a equação não é homogênea tal como está (mas pode tornar-se homogênea após uma translação de variáveis — é isso que a parte (b) pede).

Passo 4

Escolhendo [h) e k para a translação (parte (b)).
  • Fazendo a mudança x=X+h,\qquad y=Y+k,temos dy/dx = dY/dX (derivadas entre novas variáveis são iguais, pois dx=dX e dy=dY).
  • Substituindo em F: \frac{dy}{dx}=\frac{x-y-1}{x+y-3} \quad\Rightarrow\quad \frac{dY}{dX}=\frac{(X+h)-(Y+k)-1}{(X+h)+(Y+k)-3}.Simplificando: \frac{dY}{dX}=\frac{X-Y+(h-k-1)}{X+Y+(h+k-3)}.
  • Queremos que isso seja exatamente \frac{dY}{dX}=\frac{X-Y}{X+Y},isto é, precisamos eliminar os termos constantes no numerador e denominador. Isso dá o sistema linear para h,k: \begin{cases} h-k-1=0,\\[4pt] h+k-3=0. \end{cases}
  • Resolvendo: somando as duas equações dá 2h-4=0\Rightarrow h=2\]. Então \(k=h-1=1.
  • Conclusão: h=2,\\ k=1. Com essa escolha a equação transforma-se em \frac{dY}{dX}=\frac{X-Y}{X+Y},como pedido.]

Passo 5

Resolver a equação transformada \dfrac{dY}{dX}=\dfrac{X-Y}{X+Y}.
  • Método (explicação didática): essa é uma equação homogênea (a razão depende apenas de Y/X). Para resolver equações homogêneas é padrão usar a substituição v=\frac{Y}{X}\quad\text{ou}\quad Y=vX.A razão é que então o lado direito depende só de v, e a derivada dY/dX pode ser escrita em termos de v e dv/dX.
  • Faça Y=vX. Então \frac{dY}{dX}=v+X\frac{dv}{dX}.Substituindo na equação: v+X\frac{dv}{dX}=\frac{X-Y}{X+Y}=\frac{X-vX}{X+vX}=\frac{1-v}{1+v}.
  • Isolando dv/dX: X\frac{dv}{dX}=\frac{1-v}{1+v}-v.Simplificando o lado direito: \frac{1-v}{1+v}-v=\frac{1-v-v(1+v)}{1+v}=\frac{1-2v-v^{2}}{1+v}.Logo X\frac{dv}{dX}=\frac{1-2v-v^{2}}{1+v}.
  • Separando variáveis (passo chave para integrar): \frac{1+v}{1-2v-v^{2}}\,dv=\frac{dX}{X}.

Passo 6

Integração e obtenção da solução implícita.
  • Observação útil (truque): note que o denominador 1-2v-v^{2} é, com sinal invertido, v^{2}+2v-1. A derivada de v^{2}+2v-1 é 2(v+1), que é proporcional ao numerador 1+v. Essa coincidência permite uma integração direta por substituição.
  • Reescrevendo: \frac{1+v}{1-2v-v^{2}}\,dv=-\frac{1+v}{v^{2}+2v-1}\,dv.Coloque u=v^{2}+2v-1. Então du=2(v+1)\,dv, ou (1+v)\,dv=\tfrac{1}{2}\,du.
  • Assim a integral do lado esquerdo fica \int\frac{1+v}{1-2v-v^{2}}\,dv=\int -\frac{1+v}{v^{2}+2v-1}\,dv =-\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=-\frac{1}{2}\ln|u|+C.Voltando a v: \int\frac{1+v}{1-2v-v^{2}}\,dv=-\frac{1}{2}\ln\big|v^{2}+2v-1\big|+C.
  • A integral do lado direito é \int \dfrac{dX}{X}=\ln|X|+C.
  • Igualando as integrais: -\frac{1}{2}\ln\big|v^{2}+2v-1\big|=\ln|X|+C.Multiplicando por -2 e recolocando constante: \ln\big|v^{2}+2v-1\big|=-2\ln|X|+C_1
\Rightarrow\quad v^{2}+2v-1=\frac{C}{X^{2}},
onde C é constante arbitrária (pode ser positivo ou negativo).

Passo 7

Voltar às variáveis Y,X e depois para y,x; obter solução explícita.
  • Lembrando que v=Y/X, temos \left(\frac{Y}{X}\right)^{2}+2\frac{Y}{X}-1=\frac{C}{X^{2}}.Multiplicando por X^{2}: Y^{2}+2XY-X^{2}=C.Esta é a forma implícita da solução em X,Y.
  • Usando a translação inversa X=x-h=x-2 e Y=y-k=y-1, obtemos a solução implícita em x,y: (y-1)^{2}+2(x-2)(y-1)-(x-2)^{2}=C.
  • Podemos também resolver explicitamente para y (fórmula quadrática). Expandindo e reorganizando como uma equação quadrática em y: y^{2}+(2x-6)y +\big(2x-x^{2}+1-C\big)=0.O discriminante desta quadrática é \Delta=8(x-2)^{2}+4C=4\big(2(x-2)^{2}+C\big).Portanto y=\frac{-\,(2x-6)\pm\sqrt{\Delta}}{2}=-x+3\pm\sqrt{2(x-2)^{2}+C}.Aqui C é a constante arbitrária da integração (pode ser reescalada se desejar).

Resposta

(a) A equação não é separável e não é homogênea.\n
(b) h=2,\\ k=1.\n
(c) Solução geral (implícita): (y-1)^{2}+2(x-2)(y-1)-(x-2)^{2}=C.\n
Equivalente em forma explícita:
y=-x+3\pm\sqrt{2(x-2)^{2}+C},
onde C é constante arbitrária.

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