Considere a equação
Determine
usando derivação implícita.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar
usando derivação implícita.
Informações relevantes fornecidas:
- A relação entre
e é dada implicitamente por . - Quer-se a derivada de
em relação a , ou seja .
O que será obtido no final:
- Uma fórmula que expressa
em termos de e .
Passo 2
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Antes de derivar, lembro duas regras que usarei (explicadas de forma bem direta):
- Regra da cadeia: se
então . Ou seja, deriva-se a função externa e multiplica-se pela derivada da função interna. - Regra do produto: se
e então .
Agora aplico a derivação ao lado esquerdo
. Usei a regra da cadeia com
:
Como
e
, segue que
Passo 3
Agora derivo o lado direito
. Aqui é um produto entre
(função de
via
) e
. Aplico a regra do produto:
Derivando cada parte:
-
(regra da cadeia: potência + depende de ), -
.
Portanto
Passo 4
Igualando as derivadas dos dois lados (derivação implícita):
Vou agora isolar
. Primeiro distribuo o lado esquerdo:
Passo 5
Agrupo os termos que contêm
em um lado e os demais no outro. Subtraio
de ambos os lados e subtraio
de ambos os lados:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 6
Finalmente, divido ambos os lados pelo fator
(desde que esse fator não seja zero) para obter
:
É comum multiplicar numerador e denominador por
para uma aparência mais “positiva” no numerador:
Passo 7
Observação prática para a prova (valiosa): a expressão final vale sempre que o denominador não for zero, ou seja, quando
. Se na prova aparecer um ponto em que o denominador seja zero, é preciso analisar separadamente (pode ser ponto singular ou exigir usar a equação original para investigar continuidade/consistência).