Considere a equação
\sin (x+y)=y^{2} \cos x
Determine \frac{d y}{d x} usando derivação implícita.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\sin(x+y)=y^{2}\cos x
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx} usando derivação implícita.
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação entre x e y é dada implicitamente por \sin(x+y)=y^{2}\cos x.
  • Quer-se a derivada de y em relação a x, ou seja \dfrac{dy}{dx}.
O que será obtido no final:
  • Uma fórmula que expressa \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Antes de derivar, lembro duas regras que usarei (explicadas de forma bem direta):
  • Regra da cadeia: se u=u(x) então \dfrac{d}{dx}\big(\sin u\big)=\cos u\cdot \dfrac{du}{dx}. Ou seja, deriva-se a função externa e multiplica-se pela derivada da função interna.
  • Regra do produto: se f=f(x) e g=g(x) então \dfrac{d}{dx}(f g)=f'\,g+f\,g'.
Agora aplico a derivação ao lado esquerdo \sin(x+y). Usei a regra da cadeia com u(x)=x+y(x):
\frac{d}{dx}\big(\sin(x+y)\big)=\cos(x+y)\cdot\frac{d}{dx}(x+y).
Como \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{dy}{dx}, segue que
\frac{d}{dx}\big(\sin(x+y)\big)=\cos(x+y)\big(1+\tfrac{dy}{dx}\big).

Passo 3

Agora derivo o lado direito y^{2}\cos x. Aqui é um produto entre y^{2} (função de x via y(x)) e \cos x. Aplico a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\cos x\big)=\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)\cdot\cos x + y^{2}\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos x\big).
Derivando cada parte:
  • \dfrac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\dfrac{dy}{dx} (regra da cadeia: potência + y depende de x),
  • \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\cos x\big)=2y\cos x\cdot\frac{dy}{dx} - y^{2}\sin x.

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados (derivação implícita):
\cos(x+y)\big(1+\tfrac{dy}{dx}\big)=2y\cos x\cdot\tfrac{dy}{dx}-y^{2}\sin x.
Vou agora isolar \dfrac{dy}{dx}. Primeiro distribuo o lado esquerdo:
\cos(x+y)+\cos(x+y)\cdot\tfrac{dy}{dx}=2y\cos x\cdot\tfrac{dy}{dx}-y^{2}\sin x.

Passo 5

Agrupo os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} em um lado e os demais no outro. Subtraio 2y\cos x\cdot\dfrac{dy}{dx} de ambos os lados e subtraio \cos(x+y) de ambos os lados:
\cos(x+y)\cdot\tfrac{dy}{dx}-2y\cos x\cdot\tfrac{dy}{dx}=-y^{2}\sin x-\cos(x+y).
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\Big(\cos(x+y)-2y\cos x\Big)\cdot\tfrac{dy}{dx}=-\big(y^{2}\sin x+\cos(x+y)\big).

Passo 6

Finalmente, divido ambos os lados pelo fator \cos(x+y)-2y\cos x (desde que esse fator não seja zero) para obter \dfrac{dy}{dx}:
\tfrac{dy}{dx}=\frac{-\big(y^{2}\sin x+\cos(x+y)\big)}{\cos(x+y)-2y\cos x}.
É comum multiplicar numerador e denominador por -1 para uma aparência mais “positiva” no numerador:
\tfrac{dy}{dx}=\frac{y^{2}\sin x+\cos(x+y)}{2y\cos x-\cos(x+y)}.

Passo 7

Observação prática para a prova (valiosa): a expressão final vale sempre que o denominador não for zero, ou seja, quando \;2y\cos x-\cos(x+y)\neq0. Se na prova aparecer um ponto em que o denominador seja zero, é preciso analisar separadamente (pode ser ponto singular ou exigir usar a equação original para investigar continuidade/consistência).

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}\sin x+\cos(x+y)}{2y\cos x-\cos(x+y)}

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