Usando derivação implícita, encontre
:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja
. Aqui
é vista como função de
(mesmo que não esteja isolada).
Passo 2
Ideia: diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
, usando as regras de derivação adequadas:
- regra da cadeia para termos com
(porque depende de ); - regra do produto para
.
Definimos a notação curta
.
Relembrando as derivadas que vamos usar:
Relembrando as derivadas que vamos usar:
-
. - regra da cadeia:
, porque é função de . - produto:
. - fator constante:
.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados da equação dada:
Aplicando as regras citadas:
Passo 4
Expandindo o lado direito:
Agrupamos os termos que contêm
de um lado e os restantes do outro:
Passo 5
Fatorando
no lado esquerdo:
Isolando
:
Passo 6
Simplificando fator comum
no numerador e no denominador:
Observação útil para a prova: a derivada não está definida quando
; nesses pontos pode haver tangente vertical (ou precisar de análise adicional).