Usando derivação implícita, encontre \frac{d y}{d x} :
x^{3}+y^{3}=6 x y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{3}+y^{3}=6xy
e pede para encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja \dfrac{dy}{dx}. Aqui y é vista como função de x (mesmo que não esteja isolada).

Passo 2

Ideia: diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x, usando as regras de derivação adequadas:
  • regra da cadeia para termos com y (porque y depende de x);
  • regra do produto para xy.
Definimos a notação curta y'=\dfrac{dy}{dx}.
Relembrando as derivadas que vamos usar:
  • \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\dfrac{dy}{dx}=3y^{2}y', porque y é função de x.
  • produto: \dfrac{d}{dx}(x y)=x'\,y + x\,y' = 1\cdot y + x\,y' = y + x y'.
  • fator constante: \dfrac{d}{dx}(6\cdot (x y))=6\cdot \dfrac{d}{dx}(x y)=6(y + x y').

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da equação dada:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}+y^{3}\big)=\frac{d}{dx}\big(6xy\big).
Aplicando as regras citadas:
3x^{2}+3y^{2}y'=6(y+xy').

Passo 4

Expandindo o lado direito:
3x^{2}+3y^{2}y'=6y+6x y'.
Agrupamos os termos que contêm y' de um lado e os restantes do outro:
3y^{2}y'-6x y'=6y-3x^{2}.

Passo 5

Fatorando y' no lado esquerdo:
(3y^{2}-6x)\,y'=6y-3x^{2}.
Isolando y':
y'=\frac{6y-3x^{2}}{3y^{2}-6x}.

Passo 6

Simplificando fator comum 3 no numerador e no denominador:
y'=\frac{3(2y-x^{2})}{3(y^{2}-2x)}=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}.
Observação útil para a prova: a derivada não está definida quando y^{2}-2x=0; nesses pontos pode haver tangente vertical (ou precisar de análise adicional).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}

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