Utilizando derivação implícita, determine
:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar
usando derivação implícita. Informações relevantes fornecidas:
- A relação entre
e é implícita pela equação acima (não foi dada isolada). - A constante do lado direito é
. - A saída pedida é a derivada
em termos de e .
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado devagarinho): quando
depende de
— isto é,
— e temos uma expressão com
dentro, ao derivar em relação a
precisamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se
então
Aqui
, então
Explicando as peças:
vem da derivada exterior (derivada de
é
) e
é a derivada interior (porque
varia com
). Sempre que aparecer
numa expressão e derivarmos em relação a
, multiplicamos pela
.
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados da equação
em relação a
, termo a termo, aplicando a regra da cadeia no termo com
:
Calculando cada derivada:
Substituindo:
Passo 4
Isolamos
. Primeiro movemos
para o outro lado:
Agora dividimos ambos os lados por
(isso exige
; trataremos o caso
em seguida):
Passo 5
Observações importantes sobre o resultado:
- A derivada é
Isto significa que, em qualquer ponto
da circunferência
com
, a inclinação da reta tangente é
.
- Nos pontos em que
(ou seja e ), a divisão por não é válida e a derivada está indefinida: isso corresponde a tangentes verticais nesses pontos.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação explícita em uma das duas ramificações: se isolarmos a semi‑circunferência superior
, então
Como nesse ramo
, obtemos
, que coincide com o resultado por derivação implícita. O mesmo vale para a ramificação inferior
.
Passo 7
Exemplos numéricos para treinar (rápido e útil para prova):
- Em
(que satisfaz ), a inclinação é . - Em
, a inclinação é . - Em
e , a derivada é indefinida (tangente vertical).
Dica prática para a prova: passos curtos e seguros — derivar ambos os lados, aplicar regra da cadeia aos termos com
, isolar
, checar pontos onde
.