Utilizando derivação implícita, determine \frac{d y}{d x} :
x^{2}+y^{2}=25

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}=25
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx} usando derivação implícita. Informações relevantes fornecidas:
  • A relação entre x e y é implícita pela equação acima (não foi dada y isolada).
  • A constante do lado direito é \,25.
  • A saída pedida é a derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado devagarinho): quando y depende de x — isto é, y=y(x) — e temos uma expressão com y dentro, ao derivar em relação a x precisamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se u(x)=y(x) então
\frac{d}{dx}\big(u^{2}\big)=2u\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui u=y, então
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx}.
Explicando as peças: 2y vem da derivada exterior (derivada de t^{2} é 2t) e \dfrac{dy}{dx} é a derivada interior (porque y varia com x). Sempre que aparecer y numa expressão e derivarmos em relação a x, multiplicamos pela \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados da equação \;x^{2}+y^{2}=25\; em relação a x, termo a termo, aplicando a regra da cadeia no termo com y:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=\frac{d}{dx}\big(25\big).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x, \qquad \frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\big(25\big)=0.
Substituindo:
2x+2y\cdot\frac{dy}{dx}=0.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dy}{dx}. Primeiro movemos 2x para o outro lado:
2y\cdot\frac{dy}{dx}=-2x.
Agora dividimos ambos os lados por 2y (isso exige y\neq0; trataremos o caso y=0 em seguida):
\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}.

Passo 5

Observações importantes sobre o resultado:
  • A derivada é
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.
Isto significa que, em qualquer ponto (x,y) da circunferência x^{2}+y^{2}=25 com y\neq0, a inclinação da reta tangente é -x/y.
  • Nos pontos em que y=0 (ou seja (5,0) e (-5,0)), a divisão por y não é válida e a derivada está indefinida: isso corresponde a tangentes verticais nesses pontos.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação explícita em uma das duas ramificações: se isolarmos a semi‑circunferência superior y=\sqrt{25-x^{2}}, então
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{25-x^{2}}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}.
Como nesse ramo y=\sqrt{25-x^{2}}, obtemos \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}, que coincide com o resultado por derivação implícita. O mesmo vale para a ramificação inferior y=-\sqrt{25-x^{2}}.

Passo 7

Exemplos numéricos para treinar (rápido e útil para prova):
  • Em (3,4) (que satisfaz 3^{2}+4^{2}=25), a inclinação é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}.
  • Em (-4,3), a inclinação é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{-4}{3}=\dfrac{4}{3}.
  • Em (5,0) e (-5,0), a derivada é indefinida (tangente vertical).
Dica prática para a prova: passos curtos e seguros — derivar ambos os lados, aplicar regra da cadeia aos termos com y, isolar \dfrac{dy}{dx}, checar pontos onde y=0.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}

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