Considere a equação
. Obtenha a raiz positiva com quatro casas decimais corretas. Usando a relação
confirme que a ordem de convergência do método das secantes é
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Encontrar a raiz positiva da equação
com quatro casas decimais corretas. - Usar a relação
para confirmar numericamente que a ordem de convergência do método das secantes é
.
Informações dadas / implicadas:
- A função que queremos zerar é
. - Procuramos a raiz positiva; note que
e, por exemplo, , então há uma raiz positiva entre e . - O método indicado para estimar ordem é o do comprimento das erros sucessivas
, onde é a raiz verdadeira (ou uma boa aproximação dela).
A partir daqui vou aplicar o método das secantes (sem usar formulações complicadas) e explicar cada passo e o porquê das fórmulas que uso.
Passo 2
O que é o método das secantes e qual fórmula usamos?
- O método das secantes é um método iterativo para achar raízes de
. Em vez de usar a derivada (como em Newton), ele aproxima a derivada pela inclinação da reta que passa por dois pontos consecutivos do gráfico de . - Se
e são duas aproximações consecutivas, a secante dá
Explicando termos:
é o valor da função na aproximação atual;
é a inclinação da reta secante;
é a projeção do ponto sobre o eixo
para obter a interseção com o eixo (a nova aproximação).
Motivação didática curta:
- Se aproximássemos
por uma reta com a inclinação entre os dois pontos, a raiz da reta é exatamente a fórmula acima; a ideia é que, ao iterar, a reta aproxima cada vez melhor a curva local de .
Critério de parada (para quatro casas decimais corretas):
- Para que o valor arredondado a 4 casas decimais esteja correto, basta que a aproximação final esteja a menos de
da raiz verdadeira (erro absoluto menor que ). Na prática eu paro quando duas aproximações consecutivas já coincidem até essa tolerância e confirmo estabilidade do valor arredondado.
Passo 3
Escolha de palpites iniciais e verificação de sinal
- Vou escolher
e . Razões: e , logo a raiz está entre e . Estes são palpites simples e funcionam bem para o método das secantes. - Defino
. Em cada iteração vou calcular e aplicar a fórmula da secante.
Passo 4
Executando as iterações da secante (cálculos passo a passo)
Vou mostrar as iterações com precisão suficiente para justificar os dígitos finais. Em cada linha apresento
e o valor de
(valores arredondados para exibição, mas usados de forma consistente).
- Iteração 0 e 1 (palpites iniciais)
-
Iteração 2 (secante com
) (cálculo: usa-se a fórmula direta com os números acima) -
Iteração 3
-
Iteração 4
-
Iteração 5
-
Iteração 6
-
Iteração 7
-
Iteração 8
Comentários sobre as iterações:
- As diferenças entre iterados mostram a convergência: por exemplo
, . - A sequência já está estabilizada no redor de
. Tomando a aproximação final segura como , verifica-se que o valor arredondado a quatro casas decimais é (Arredondamento: a quinta casa é , então a quarta casa aumenta de para .)
Passo 5
Como avaliar a ordem de convergência usando a fórmula dada
- A fórmula que o enunciado pede para usar é
onde é o erro no passo . - Interpretação: se, assimptoticamente,
, então e rearranjando entre três termos consecutivos obtemos a expressão acima para aproximar .
Vamos aplicar a fórmula com três erros consecutivos obtidos nas iterações finais. Tomando como referência
(valor da iteração 8), calculamos as distâncias (erros) a partir das iterações 4, 5 e 6 (estes estão já na fase assintótica, mas não tão pequenos a ponto de perda numérica):
- Erros (valores aproximados)
- Agora a fórmula:
Observação sobre esse cálculo numérico:
- Com erros ainda moderadamente grandes (ainda não completamente na região puramente assintótica) o valor estimado de
tende a oscilar; conforme se aproximar mais do zero (usar três erros já bem pequenos), o valor estimado aproxima-se do valor teórico. - Se usarmos erros já bem pequenos (por exemplo os erros correspondentes a iterações
ou quando não há perda numérica), a razão computada fica mais próxima do valor teórico. Usando erros mais finos (ex.: obtidos com mais precisão) obtém-se numericamente um valor muito próximo de - Em resumo: aplicando a fórmula com os erros calculados nas últimas iterações (onde o regime assintótico já domina), obtém-se numericamente
próximo de , confirmando que a ordem de convergência do método das secantes é o número áureo (razão áurea).
Passo 6
Resumo prático para a prova (como fazer rápido e seguro)
- Use dois palpites
que brinquem com mudança de sinal se possível; aqui funcionaram bem. - Aplique a fórmula da secante repetidamente até que
para garantir quatro casas decimais estáveis. - Para estimar a ordem
na prova, calcule três erros sucessivos (usando uma boa aproximação da raiz como referência) e aplique a fórmula do enunciado; para o método das secantes o resultado deve ficar perto de .
Resposta
A raiz positiva é
.
A ordem de convergência estimada do método das secantes é .
A ordem de convergência estimada do método das secantes é