Considere a equação
.
Determine a raiz negativa usando o Método Regula Falsi, com erro ingerior a
. As condições iniciais são de sua escolha.
Determine a raiz negativa usando o Método Regula Falsi, com erro ingerior a
Passo 1
O enunciado pede: determinar a raiz negativa da equação
usando o Método Regula Falsi, com erro inferior a
. Não foram dadas condições iniciais, então posso escolher um intervalo inicial que contenha a raiz buscada.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Deseja-se uma raiz negativa (isto é, um
tal que ). - Método: Regula Falsi (falsa posição).
- Tolerância para o erro:
.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se existe alguma raiz com
. Para isso é muito útil estudar o sinal e monotonicidade de
.
Calcule a derivada:
Sabendo que
satisfaz
, obtemos
ou seja,
para todo
. Isso significa que
é uma função não-decrescente (monótona crescente, com possíveis pontos de platô quando
). Em palavras: se
então
.
Agora avalie
em
:
Como
é crescente, para qualquer
vale
. Portanto, para todo
temos
. Conclusão: não existe
tal que
. Ou seja, não há raiz negativa da equação dada.
(Síntese: por monotonicidade e porque o valor máximo que
atinge no semieixo negativo é
, não há cruzamento do eixo
para
.)
Passo 3
Como o enunciado exige o uso do Método Regula Falsi, explico didaticamente o método (para o caso em que existe um intervalo com sinais opostos):
- Suponha que tenhamos um intervalo
tal que . Então existe pelo menos uma raiz em . - A aproximação pela falsa posição é dada por
que é a interseção da reta que passa por
e
com o eixo
.
- Depois avalia-se
. Se então a nova aproximação passa a considerar ; se então o novo intervalo é . Repetir até atingir a tolerância. - Critérios de parada comuns:
-
(erro na raiz menor que ); - ou
(resíduo pequeno).
No enunciado a tolerância pedida é; usarei o critério (explico porque é prático: garante precisão na abscissa da raiz).
-
Passo 4
Apesar de o objetivo pedido ter sido uma raiz negativa, já mostramos que tal raiz não existe. Para não deixar o método sem exemplo prático, mostro como aplicar o Regula Falsi ao intervalo positivo que contém a única raiz real (útil para a prova e para entender o método).
- Primeiro ache um intervalo
com sinais opostos. Calculos rápidos:
Logo há uma raiz em
. Tomamos
.
- Agora aplicamos iterativamente a fórmula da falsa posição. Vou mostrar passo a passo até que a variação em
fique menor que . Para facilitar os cálculos usamos a forma
que é algebraicamente equivalente e prática quando
é conhecido.
Iterações (apresento valores arredondados com 9 dígitos onde necessário; cada valor de
foi calculado com precisão suficiente para identificar o sinal e a convergência):
-
Iteração 1:
, . Comotem mesmo sinal que (negativo), substituímos . -
Iteração 2:
, . Ainda negativo →. -
Iteração 3:→
. -
Iteração 4:→
. -
Iteração 5:→
. -
Iteração 6:→
. -
Iteração 7:→
. -
Iteração 8:→
. -
Iteração 9:→
. -
Iteração 10:Diferença
, ainda maior que , continua. -
Iteração 11:Diferença
. Aqui o critério de parada é satisfeito.
Portanto, aplicando o Regula Falsi ao intervalo
, obtemos uma aproximação da raiz (única raiz real) dada por
com erro em
menor que
segundo o critério adotado.
(Observação: todos os cálculos acima são para ilustrar o método; a convergência é bastante segura porque
é contínua e muda de sinal em
.)
Passo 5
Resumo final e resposta ao pedido estrito do enunciado: o enunciado pedia especificamente a raiz negativa. A análise de monotonicidade mostra que
para todo
, portanto não existe raiz com
. Assim não há como aplicar o Regula Falsi para “determinar a raiz negativa” porque ela não existe. Como complemento útil (para estudos e prova), mostrei como aplicar Regula Falsi ao intervalo positivo
e obtive a raiz positiva aproximada
com erro em
menor que
.
Resposta
Não existe raiz negativa para
; a única raiz real está em
.