Considere a equação g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3.
Determine a raiz negativa usando o Método Regula Falsi, com erro ingerior a 10^{-5}. As condições iniciais são de sua escolha.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a raiz negativa da equação g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3 usando o Método Regula Falsi, com erro inferior a 10^{-5}. Não foram dadas condições iniciais, então posso escolher um intervalo inicial que contenha a raiz buscada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0,3.
  • Deseja-se uma raiz negativa (isto é, um x<0 tal que g(x)=0).
  • Método: Regula Falsi (falsa posição).
  • Tolerância para o erro: 10^{-5}.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se existe alguma raiz com x<0. Para isso é muito útil estudar o sinal e monotonicidade de g.
Calcule a derivada:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-\sin x-0{,}3\bigr)=1-\cos x.
Sabendo que \cos x satisfaz -1\le\cos x\le1, obtemos
0 \le 1-\cos x \le 2,
ou seja, g'(x)\ge 0 para todo x. Isso significa que g é uma função não-decrescente (monótona crescente, com possíveis pontos de platô quando \cos x=1). Em palavras: se x_1<x_2 então g(x_1)\le g(x_2).
Agora avalie g em x=0:
g(0)=0-\sin 0-0{,}3=-0{,}3.
Como g é crescente, para qualquer x\le 0 vale g(x)\le g(0)=-0{,}3<0. Portanto, para todo x\le 0 temos g(x)<0. Conclusão: não existe x<0 tal que g(x)=0. Ou seja, não há raiz negativa da equação dada.
(Síntese: por monotonicidade e porque o valor máximo que g atinge no semieixo negativo é g(0)=-0{,}3<0, não há cruzamento do eixo x para x<0.)

Passo 3

Como o enunciado exige o uso do Método Regula Falsi, explico didaticamente o método (para o caso em que existe um intervalo com sinais opostos):
  • Suponha que tenhamos um intervalo [a,b] tal que g(a)\cdot g(b)<0. Então existe pelo menos uma raiz em (a,b).
  • A aproximação pela falsa posição é dada por
c=\frac{a\,g(b)-b\,g(a)}{g(b)-g(a)},
que é a interseção da reta que passa por (a,g(a)) e (b,g(b)) com o eixo x.
  • Depois avalia-se g\text{(c)}. Se g(a)\,g\text{(c)}<0 então a nova aproximação passa a considerar [a,c]; se g\text{(c)}\,g(b)<0 então o novo intervalo é [c,b]. Repetir até atingir a tolerância.
  • Critérios de parada comuns:
    • |c_{\text{novo}}-c_{\text{antigo}}|<\varepsilon (erro na raiz menor que \varepsilon);
    • ou |g\text{(c)}|<\varepsilon (resíduo pequeno).
      No enunciado a tolerância pedida é 10^{-5}; usarei o critério |c_{\text{novo}}-c_{\text{antigo}}|<10^{-5} (explico porque é prático: garante precisão na abscissa da raiz).

Passo 4

Apesar de o objetivo pedido ter sido uma raiz negativa, já mostramos que tal raiz não existe. Para não deixar o método sem exemplo prático, mostro como aplicar o Regula Falsi ao intervalo positivo que contém a única raiz real (útil para a prova e para entender o método).
  1. Primeiro ache um intervalo [a,b] com sinais opostos. Calculos rápidos:
g(1)=1-\sin 1-0{,}3\approx 1-0{,}84147098-0{,}3\approx -0{,}14147098<0,
g(2)=2-\sin 2-0{,}3\approx 2-0{,}90929743-0{,}3\approx 0{,}79070257>0.
Logo há uma raiz em (1,2). Tomamos [a_0,b_0]=[1,2].
  1. Agora aplicamos iterativamente a fórmula da falsa posição. Vou mostrar passo a passo até que a variação em c fique menor que 10^{-5}. Para facilitar os cálculos usamos a forma
c = a - g(a)\,\frac{b-a}{g(b)-g(a)},
que é algebraicamente equivalente e prática quando g(a) é conhecido.
Iterações (apresento valores arredondados com 9 dígitos onde necessário; cada valor de g foi calculado com precisão suficiente para identificar o sinal e a convergência):
  • Iteração 1: a=1, b=2.
    c_1 \approx 1{,}151764\quad\text{e}\quad g(c_1)\approx -0{,}063506.
    Como g(c_1) tem mesmo sinal que g(1) (negativo), substituímos a\gets c_1.
  • Iteração 2: a\approx1{,}151764, b=2.
    c_2 \approx 1{,}214864\quad\text{e}\quad g(c_2)\approx -0{,}022475.
    Ainda negativo → a\gets c_2.
  • Iteração 3:
    c_3 \approx 1{,}236564\quad\text{e}\quad g(c_3)\approx -0{,}008106.
    a\gets c_3.
  • Iteração 4:
    c_4 \approx 1{,}244318\quad\text{e}\quad g(c_4)\approx -0{,}002866.
    a\gets c_4.
  • Iteração 5:
    c_5 \approx 1{,}247048\quad\text{e}\quad g(c_5)\approx -0{,}0010033.
    a\gets c_5.
  • Iteração 6:
    c_6 \approx 1{,}2480016\quad\text{e}\quad g(c_6)\approx -0{,}000352.
    a\gets c_6.
  • Iteração 7:
    c_7 \approx 1{,}2483355\quad\text{e}\quad g(c_7)\approx -0{,}000123.
    a\gets c_7.
  • Iteração 8:
    c_8 \approx 1{,}2484525\quad\text{e}\quad g(c_8)\approx -0{,}000043.
    a\gets c_8.
  • Iteração 9:
    c_9 \approx 1{,}2484933\quad\text{e}\quad g(c_9)\approx -0{,}000016.
    a\gets c_9.
  • Iteração 10:
    c_{10} \approx 1{,}2485085\quad\text{e}\quad g(c_{10})\approx -0{,}000006.
    Diferença |c_{10}-c_9|\approx 1{,}52\times10^{-5}, ainda maior que 10^{-5}, continua.
  • Iteração 11:
    c_{11} \approx 1{,}2485142\quad\text{e}\quad g(c_{11})\approx -0{,}0000023.
    Diferença |c_{11}-c_{10}|\approx 5{,}7\times10^{-6}<10^{-5}. Aqui o critério de parada |c_{\text{novo}}-c_{\text{antigo}}|<10^{-5} é satisfeito.
Portanto, aplicando o Regula Falsi ao intervalo [1,2], obtemos uma aproximação da raiz (única raiz real) dada por
x\approx 1{,}2485142
com erro em x menor que 10^{-5} segundo o critério adotado.
(Observação: todos os cálculos acima são para ilustrar o método; a convergência é bastante segura porque g é contínua e muda de sinal em [1,2].)

Passo 5

Resumo final e resposta ao pedido estrito do enunciado: o enunciado pedia especificamente a raiz negativa. A análise de monotonicidade mostra que g(x)<0 para todo x\le0, portanto não existe raiz com x<0. Assim não há como aplicar o Regula Falsi para “determinar a raiz negativa” porque ela não existe. Como complemento útil (para estudos e prova), mostrei como aplicar Regula Falsi ao intervalo positivo [1,2] e obtive a raiz positiva aproximada x\approx 1{,}2485142 com erro em x menor que 10^{-5}.

Resposta

Não existe raiz negativa para g(x)=x-\operatorname{sen}(x)-0{,}3; a única raiz real está em x\approx 1{,}2485142.

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