Fórmula de Abel (enunciado e justificativa curta): se a equação tem a forma
y''+p(t)\,y'+q(t)\,y=0,
então o Wronskiano satisfaz a equação diferencial simples
W'(t)=-p(t)\,W(t).
Isto vem de derivar W e usar que y_{1} e y_{2} satisfazem a equação (fazer isso passo a passo é um exercício direto: calcular W', substituir y_{i}''=-p y_{i}'-q y_{i} e simplificar). Da equação W'=-pW segue pela integração
Pela fórmula de Abel temos também W(t)=C e^{-2a t}. Igualando:
e^{-a t}\bigl(y'(t)+a y(t)\bigr)=C e^{-2a t}.
Multiplicando por e^{a t}:
y'(t)+a y(t)=C e^{-a t},
onde C é uma constante (a mesma que aparece no Wronskiano).
Esta é agora uma equação diferencial linear de primeira ordem para y.]
Passo 6
Resolver a equação de primeira ordem
y'(t)+a y(t)=C e^{-a t}.
Explicando método (fórmula e ideia): para uma equação y'+a y=f(t) usa-se o fator integrante \mu(t)=e^{\int a\,dt}=e^{a t}. Multiplicando ambos os lados por \mu transforma-se o lado esquerdo em derivada de produto:
\bigl(e^{a t} y(t)\bigr)' = e^{a t}\cdot C e^{-a t} = C.
Integrando em t:
e^{a t} y(t) = C t + K,
onde K é outra constante de integração. Portanto
y(t)=\bigl(K + C t\bigr)e^{-a t}.
Aqui K e C são constantes arbitrárias; renomeando K=C_{1} e C=C_{2} obtemos a forma padrão da solução geral.
Passo 7
Interpretação final: a solução geral da equação diferencial dada é
y(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}\,t\bigr)e^{-a t},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.
Observação para ligar com a forma solicitada no enunciado: se, por alguma condição adicional (por exemplo uma condição inicial que imponha C_{2}=0 ou se o Wronskiano entre duas soluções escolhidas for nulo), então C_{2}=0 e as soluções reduzem-se às da forma y(t)=c\,e^{-a t}. Mas, em geral, para a equação dada, existe um segundo parâmetro livre e a solução geral contém o termo em t e^{-a t}.