Considere a equação
y^{\prime \prime}+2 a y^{\prime}+a^{2} y=0
onde a é uma constante. Usando a fórmula de Abel, mostre que as soluções desta equação são da forma
y(t)=c e^{-a t}
onde c é uma constante.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2a\,y' + a^{2}y = 0,
onde a é uma constante. O que se pede (explicitamente) é mostrar que as soluções são da forma
y(t)=c\,e^{-a t},
onde c é constante.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação linear homogênea de segunda ordem.
  • Coeficiente do termo y' é a constante 2a.
  • Coeficiente do termo y é a^{2}.
  • A instrução pede uso da fórmula de Abel (relacionada ao Wronskiano).

Passo 2

Vou lembrar e explicar a fórmula de Abel — ela é o coração do método pedido.
Definição do Wronskiano: dadas duas soluções y_{1} e y_{2} de uma equação linear homogênea de segunda ordem, define-se o Wronskiano
W(t)=\begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t)\\[4pt] y_{1}'(t) & y_{2}'(t) \end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Fórmula de Abel (enunciado e justificativa curta): se a equação tem a forma
y''+p(t)\,y'+q(t)\,y=0,
então o Wronskiano satisfaz a equação diferencial simples
W'(t)=-p(t)\,W(t).
Isto vem de derivar W e usar que y_{1} e y_{2} satisfazem a equação (fazer isso passo a passo é um exercício direto: calcular W', substituir y_{i}''=-p y_{i}'-q y_{i} e simplificar). Da equação W'=-pW segue pela integração
W(t)=W(t_{0})\exp\!\left(-\int_{t_{0}}^{t} p(s)\,ds\right),
ou, para p constante, W(t)=C e^{-\int p}.
Essa fórmula nos dá, em particular, se p for conhecida, a forma do Wronskiano (até uma constante multiplicativa).]

Passo 3

Aplicando Abel à nossa equação: aqui p(t)=2a (constante). Portanto o Wronskiano de duas soluções quaisquer satisfaz
W'(t)=-2a\,W(t),
cuja solução é
W(t)=C e^{-2a t},
onde C é uma constante (dependente das soluções escolhidas, isto é, do valor W(t_{0})).

Passo 4

Agora encontre uma solução explícita simples que pode ser usada como y_{1}. Teste a função \displaystyle y_{1}(t)=e^{-a t}. Verificação direta:
y_{1}'(t)=-a e^{-a t},\qquad y_{1}''(t)=a^{2} e^{-a t}.
Substituindo na equação:
y_{1}''+2a y_{1}'+a^{2} y_{1}=a^{2} e^{-a t}+2a(-a e^{-a t})+a^{2} e^{-a t}=0.
Logo \displaystyle y_{1}(t)=e^{-a t} é de fato uma solução.

Passo 5

Seja y uma solução qualquer da equação. Considere o Wronskiano entre y_{1}=e^{-a t} e y:
W(t)=\begin{vmatrix} e^{-a t} & y(t)\\[4pt] -a e^{-a t} & y'(t)\end{vmatrix} = e^{-a t}y'(t)-(-a e^{-a t})y(t) = e^{-a t}\bigl(y'(t)+a y(t)\bigr).
Pela fórmula de Abel temos também W(t)=C e^{-2a t}. Igualando:
e^{-a t}\bigl(y'(t)+a y(t)\bigr)=C e^{-2a t}.
Multiplicando por e^{a t}:
y'(t)+a y(t)=C e^{-a t},
onde C é uma constante (a mesma que aparece no Wronskiano).
Esta é agora uma equação diferencial linear de primeira ordem para y.]

Passo 6

Resolver a equação de primeira ordem
y'(t)+a y(t)=C e^{-a t}.
Explicando método (fórmula e ideia): para uma equação y'+a y=f(t) usa-se o fator integrante \mu(t)=e^{\int a\,dt}=e^{a t}. Multiplicando ambos os lados por \mu transforma-se o lado esquerdo em derivada de produto:
\bigl(e^{a t} y(t)\bigr)' = e^{a t} y'(t) + a e^{a t} y(t) = e^{a t}\bigl(y'(t)+a y(t)\bigr).
Aplicando isso à nossa equação:
\bigl(e^{a t} y(t)\bigr)' = e^{a t}\cdot C e^{-a t} = C.
Integrando em t:
e^{a t} y(t) = C t + K,
onde K é outra constante de integração. Portanto
y(t)=\bigl(K + C t\bigr)e^{-a t}.
Aqui K e C são constantes arbitrárias; renomeando K=C_{1} e C=C_{2} obtemos a forma padrão da solução geral.

Passo 7

Interpretação final: a solução geral da equação diferencial dada é
y(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}\,t\bigr)e^{-a t},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.
Observação para ligar com a forma solicitada no enunciado: se, por alguma condição adicional (por exemplo uma condição inicial que imponha C_{2}=0 ou se o Wronskiano entre duas soluções escolhidas for nulo), então C_{2}=0 e as soluções reduzem-se às da forma y(t)=c\,e^{-a t}. Mas, em geral, para a equação dada, existe um segundo parâmetro livre e a solução geral contém o termo em t e^{-a t}.

Resposta

y(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}\,t\bigr)e^{-a t}

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