Resolva o PVI.
Passo 1
O problema pede resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Informações fornecidas:
- A equação diferencial é de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes:
. - Condições iniciais dadas no ponto
: e .
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
- Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
, o método padrão é procurar soluções do tipo . Isso transforma a EDO numa equação algébrica para (a chamada equação característica). Vou fazer isso passo a passo para você entender direitinho.
Começando: suponha
. Então
Substituindo na EDO:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica e interpretar as raízes.
- Calculo das raízes:
- As raízes são complexas conjugadas:
. Há uma regra (que vem de usar a fórmula de Euler) que diz: se as raízes são , a solução geral real é
Aqui
e
. Logo a solução geral é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calcular a derivada
explicitamente (produto e regra da cadeia), mostrando cada passo.
Usando , aplico a regra do produto:
Usando
Calcule as partes:
Substituindo:
Fatorando
e agrupando termos:
Reordenando os coeficientes de
e
:
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para obter um sistema para
e
.
Primeira condição: .
Primeira condição:
- Observe que
. Vou chamar só para clareza.
Substituindo em:
Daqui:
Como
, temos
Segunda condição:
.
Usando a expressão de :
Usando a expressão de
Portanto
Dividindo ambos os lados por
:
Usando
novamente:
Passo 6
Determinar
e escrever a solução final.
Já que e
, então
Já que
Portanto
.
Substituindo na solução geral:
Podemos combinar os expoentes: