Resolva o PVI.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0, y\left(\frac{\pi}{4}\right)=2, y^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=-2

Passo 1

O problema pede resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
y''+2y'+2y=0, \qquad y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2, \qquad y'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-2.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes: y''+2y'+2y=0.
  • Condições iniciais dadas no ponto x_{0}=\dfrac{\pi}{4}: y\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2 e y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-2.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
  • Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma y''+ay'+by=0, o método padrão é procurar soluções do tipo y=e^{rx}. Isso transforma a EDO numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Vou fazer isso passo a passo para você entender direitinho.
Começando: suponha y=e^{rx}. Então
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na EDO:
r^{2} e^{rx} + 2 r e^{rx} + 2 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{2}+2r+2=0.

Passo 3

Resolver a equação característica e interpretar as raízes.
  • Calculo das raízes:
r=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-2\pm 2\mathrm{i}}{2}=-1\pm\mathrm{i}.
  • As raízes são complexas conjugadas: r=-1\pm\mathrm{i}. Há uma regra (que vem de usar a fórmula de Euler) que diz: se as raízes são \alpha\pm\beta\mathrm{i}, a solução geral real é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=-1 e \beta=1. Logo a solução geral é
y(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calcular a derivada y'(x) explicitamente (produto e regra da cadeia), mostrando cada passo.
Usando y(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big), aplico a regra do produto:
y'(x)=(e^{-x})'\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big)+e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big)'.
Calcule as partes:
(e^{-x})'=-e^{-x}, \qquad \big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big)'=-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
Substituindo:
y'(x)=-e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big) + e^{-x}\big(-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x\big).
Fatorando e^{-x} e agrupando termos:
y'(x)=e^{-x}\big[( -C_{1}\cos x - C_{2}\sin x) + (-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x)\big].
Reordenando os coeficientes de \cos x e \sin x:
y'(x)=e^{-x}\big[(C_{2}-C_{1})\cos x - (C_{1}+C_{2})\sin x\big].

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para obter um sistema para C_{1} e C_{2}.
Primeira condição: y\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2.
  • Observe que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Vou chamar s=\dfrac{\sqrt{2}}{2} só para clareza.
    Substituindo em y:
y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{-\pi/4}\big(C_{1}s + C_{2}s\big)=e^{-\pi/4}s(C_{1}+C_{2})=2.
Daqui:
C_{1}+C_{2}=\frac{2}{e^{-\pi/4}s}=2 e^{\pi/4}\cdot\frac{1}{s}.
Como \dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}, temos
C_{1}+C_{2}=2\sqrt{2}\,e^{\pi/4}.
Segunda condição: y'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-2.
Usando a expressão de y':
y'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{-\pi/4}\big[(C_{2}-C_{1})s - (C_{1}+C_{2})s\big] = e^{-\pi/4}s\big( C_{2}-C_{1}-C_{1}-C_{2}\big) = e^{-\pi/4}s(-2C_{1}).
Portanto
e^{-\pi/4}s(-2C_{1})=-2.
Dividindo ambos os lados por -2 e^{-\pi/4}s:
C_{1}=\frac{-2}{-2 e^{-\pi/4}s}=\frac{1}{e^{-\pi/4}s}=e^{\pi/4}\cdot\frac{1}{s}.
Usando \dfrac{1}{s}=\sqrt{2} novamente:
C_{1}=\sqrt{2}\,e^{\pi/4}.

Passo 6

Determinar C_{2} e escrever a solução final.
Já que C_{1}+C_{2}=2\sqrt{2}\,e^{\pi/4} e C_{1}=\sqrt{2}\,e^{\pi/4}, então
C_{2}=2\sqrt{2}\,e^{\pi/4}-\sqrt{2}\,e^{\pi/4}=\sqrt{2}\,e^{\pi/4}.
Portanto C_{1}=C_{2}=\sqrt{2}\,e^{\pi/4}.
Substituindo na solução geral:
y(x)=e^{-x}\big(\sqrt{2}\,e^{\pi/4}\cos x + \sqrt{2}\,e^{\pi/4}\sin x\big) =\sqrt{2}\,e^{\pi/4} e^{-x}(\cos x+\sin x).
Podemos combinar os expoentes:
y(x)=\sqrt{2}\,e^{\pi/4 - x}(\cos x+\sin x).

Resposta

y(x)=\sqrt{2}\,e^{\frac{\pi}{4}-x}\big(\cos x+\sin x\big)

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