Encontre a solução geral da EDO.
y^{\prime \prime}+y+1.25 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y'' + y + 1{,}25\,y = 0
e pede a solução geral y(x). Informações importantes extraídas do enunciado:
  • É uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Os coeficientes multiplicando y podem ser somados: 1 + 1{,}25 = 2{,}25.
  • Portanto a equação pode ser reescrita como
y'' + 2{,}25\,y = 0.
O objetivo é encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Motivação do método (aula curta): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, a técnica padrão é tentar soluções do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
porque a derivada de e^{r x} é múltipla de e^{r x}, o que transforma a EDO numa equação algébrica para r. Vou aplicar isso: substituindo y=e^{r x} na equação y''+2{,}25\,y=0 obtemos
r^{2}e^{r x}+2{,}25\,e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e ficar com a equação característica
r^{2}+2{,}25=0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Escrevendo 2{,}25 como fração, 2{,}25=\dfrac{9}{4}. Assim
r^{2}+\frac{9}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=-\frac{9}{4}.
Tomando raiz quadrada,
r=\pm i\frac{3}{2},
ou seja, os dois valores de r são números complexos conjugados com parte real zero e parte imaginária \pm \dfrac{3}{2}.

Passo 4

Interpretação e fórmula geral para raízes complexas: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a solução geral real da EDO é
y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Isso vem de escrever as soluções exponenciais complexas e^{(\alpha\pm i\beta)x} e usar a fórmula de Euler e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x), depois combinar as partes reais.
No nosso caso \alpha=0 e \beta=\dfrac{3}{2}. Substituindo dá
y(x)=C_{1}\cos\!\left(\frac{3}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\frac{3}{2}x\right).
Aqui C_{1} e C_{2} são constantes reais que serão determinadas por condições iniciais, se houverem.

Passo 5

Verificação (rápida para ganhar confiança): defina k=\dfrac{3}{2} e y=C_{1}\cos(kx)+C_{2}\sin(kx). Então
y''=-k^{2}C_{1}\cos(kx)-k^{2}C_{2}\sin(kx)=-k^{2}y.
Assim
y''+2{,}25\,y=(-k^{2}+2{,}25)\,y.
Como k^{2}=(3/2)^{2}=9/4=2{,}25, a expressão entre parênteses é zero e a equação é satisfeita. Logo a forma encontrada é correta e completa.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\!\left(\dfrac{3}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\dfrac{3}{2}x\right)

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