Encontre a solução geral da EDO.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
e pede a solução geral
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- É uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Os coeficientes multiplicando
podem ser somados: . - Portanto a equação pode ser reescrita como
O objetivo é encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Motivação do método (aula curta): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, a técnica padrão é tentar soluções do tipo exponencial
porque a derivada de
é múltipla de
, o que transforma a EDO numa equação algébrica para
. Vou aplicar isso: substituindo
na equação
obtemos
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficar com a equação característica
Passo 3
Resolver a equação característica. Escrevendo
como fração,
. Assim
Tomando raiz quadrada,
ou seja, os dois valores de
são números complexos conjugados com parte real zero e parte imaginária
.
Passo 4
Interpretação e fórmula geral para raízes complexas: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, a solução geral real da EDO é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Isso vem de escrever as soluções exponenciais complexas
e usar a fórmula de Euler
, depois combinar as partes reais.
No nosso caso
e
. Substituindo dá
Aqui
e
são constantes reais que serão determinadas por condições iniciais, se houverem.
Passo 5
Verificação (rápida para ganhar confiança): defina
e
. Então
Assim
Como
, a expressão entre parênteses é zero e a equação é satisfeita. Logo a forma encontrada é correta e completa.