1. Considere as equações paramétricas
x=3+4 \cos t, \quad y=-2+4 \sin t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
a) Identifique a curva representada.
b) Determine o centro e o raio.
c) Diga em que sentido a curva é percorrida quando t aumenta.
d) Encontre uma parametrização para o círculo de centro (-1,2) e raio 5 .

Passo 1

O enunciado fornece as equações paramétricas
x=3+4\cos t,\qquad y=-2+4\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
As perguntas são:
a) Identificar que curva essas equações representam.
b) Determinar o centro e o raio dessa curva.
c) Dizer em que sentido a curva é percorrida quando t aumenta.
d) Encontrar uma parametrização para o círculo de centro (-1,2) e raio 5.

Passo 2

Entender a forma padrão de uma parametrização de circunferência.
A parametrização padrão de uma circunferência de centro (a,b) e raio R é
x=a+R\cos t,\qquad y=b+R\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Por que isso funciona? Porque se isolarmos x-a e y-b temos
x-a=R\cos t,\qquad y-b=R\sin t,
e elevando ao quadrado e somando obtém-se a identidade trigonométrica \cos^2 t+\sin^2 t=1, que dá
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,
ou seja, todos os pontos satisfazem a equação de um círculo de centro (a,b) e raio R. Aqui explicando as variáveis: a e b são as coordenadas do centro, R é o raio e t é o parâmetro que varia para gerar todos os pontos da circunferência.

Passo 3

Aplicando a ideia do passo anterior às equações dadas.
Subtraindo o centro aparente:
x-3=4\cos t,\qquad y+2=4\sin t.
Elevando ao quadrado e somando:
(x-3)^2+(y+2)^2=(4\cos t)^2+(4\sin t)^2=16(\cos^2 t+\sin^2 t)=16\cdot 1=16.
Portanto os pontos (x,y) satisfazem a equação
(x-3)^2+(y+2)^2=16.
Isto mostra explicitamente que a curva é uma circunferência de raio \sqrt{16}=4 e centro em (3,-2).

Passo 4

Concluir a resposta às partes (a) e (b) com explicação didática.
  • Pelo resultado do passo anterior, a curva é uma circunferência (ou círculo, dependendo da linguagem) porque todos os pontos satisfazem a equação (x-3)^2+(y+2)^2=16.
  • Do termo (x-3)^2+(y+2)^2=4^2 lemos o centro e o raio: o centro é (3,-2) e o raio é 4.

Passo 5

Determinar o sentido de percurso quando t aumenta (parte c).
Calculamos as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=-4\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=4\cos t.
O vetor velocidade é \big(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\big)=(-4\sin t,\,4\cos t). Para verificar o sentido observe o vetor no ponto inicial t=0. Quando t=0 temos
x(0)=3+4\cos 0=7,\qquad y(0)=-2+4\sin 0=-2,
e o vetor velocidade em t=0 é
\left.\big(\tfrac{dx}{dt},\tfrac{dy}{dt}\big)\right|_{t=0}=(-4\sin 0,\,4\cos 0)=(0,4).
Esse vetor aponta para cima (aumentando y), ou seja, a partir do ponto (7,-2) o movimento sobe no sentido positivo de y. Esse comportamento corresponde ao percurso no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido anti-horário do plano cartesiano, também chamado sentido positivo). Portanto, à medida que t aumenta, a circunferência é percorrida no sentido anti-horário (contrário a relógio).
Observação prática: a parametrização (a+R\cos t,\;b+R\sin t) sempre gera percurso no sentido anti-horário para t aumentando; se se quiser o sentido horário basta trocar t por -t ou usar \cos t,\;\sin(-t)=-\sin t.

Passo 6

Construir uma parametrização para o círculo de centro (-1,2) e raio 5 (parte d).
Usando a forma padrão discutida no passo 2, tomamos a=-1, b=2 e R=5. Assim uma parametrização adequada é
x=-1+5\cos t,\qquad y=2+5\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário quando t aumenta. Se quiser o sentido horário, usar t\mapsto -t ou
x=-1+5\cos t,\qquad y=2-5\sin t.

Resposta

a) Uma circunferência.
b) Centro (3,-2) e raio 4.
c) Percorrida no sentido anti-horário (contra o sentido dos ponteiros do relógio) quando t aumenta.
d) \;x=-1+5\cos t,\; y=2+5\sin t,\; 0\le t\le 2\pi.

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