Considere as equações a seguir, identifique e resolva as exatas. Já as equações não exatas, apenas identifique-as.
Passo 1
Enunciado: temos a equação diferencial
O que o enunciado pede:
- Identificar se a equação é exata ou não.
- Se for exata, resolver (ou seja, encontrar a solução implícita).
Informações dadas (coloco em notação padrão):
Passo 2
Condição de exatidão (o que é e por que usar): para uma equação na forma
ser exata, em um domínio apropriado (geralmente simplesmente conexo) é necessário e suficiente que as derivadas parciais satisfaçam
Aqui “derivada parcial” significa derivar em relação a uma variável mantendo a outra fixa — por exemplo, ao derivar
em relação a
tratamos
como constante.
Passo 3
Calculo das parciais para verificar a condição:
porque
e
(aqui
é tratada como constante).
porque
e
.
Como
Como
a equação é exata.
Passo 4
Método de solução (ideia): se a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
Então construímos
integrando
em relação a
e adicionando uma função arbitrária de
(já que a integração em
pode deixar uma “constante” que dependa de
).
Passo 5
Integro
em relação a
:
Calculando termo a termo:
pois
é constante ao integrar em
;
Então
onde
é alguma função que depende só de
(a “constante” de integração em relação a
).
Passo 6
Determino
usando a condição
. Primeiro calculo
:
Essa expressão deve ser igual a
. Igualando:
Cancelam
e
, sobrando
Integro em
:
onde
é uma constante real.
Passo 7
Substituo
em
. Assim a função potencial completa é
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
constante. Podemos juntar constantes e escrever a solução final de forma limpa.
Passo 8
Escrevo a solução implícita final, agrupando
:
onde
é constante arbitrária (absorvendo
). Alternativamente, fatorando:
Resposta
A equação é exata.