Considere as equações a seguir, identifique e resolva as exatas. Já as equações não exatas, apenas identifique-as.
\left(3 y+y e^{x}\right) d x+\left(2+3 x+e^{x}\right) d y=0

Passo 1

Enunciado: temos a equação diferencial
\left(3 y+y e^{x}\right) d x+\left(2+3 x+e^{x}\right) d y=0.
O que o enunciado pede:
  • Identificar se a equação é exata ou não.
  • Se for exata, resolver (ou seja, encontrar a solução implícita).
    Informações dadas (coloco em notação padrão):
M(x,y)=3y+y e^{x}, \qquad N(x,y)=2+3x+e^{x}.

Passo 2

Condição de exatidão (o que é e por que usar): para uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
ser exata, em um domínio apropriado (geralmente simplesmente conexo) é necessário e suficiente que as derivadas parciais satisfaçam
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui “derivada parcial” significa derivar em relação a uma variável mantendo a outra fixa — por exemplo, ao derivar M em relação a y tratamos x como constante.

Passo 3

Calculo das parciais para verificar a condição:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3y+y e^{x}\big)=3+e^{x},
porque \partial(3y)/\partial y=3 e \partial(y e^{x})/\partial y=e^{x} (aqui e^{x} é tratada como constante).
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2+3x+e^{x}\big)=3+e^{x},
porque \partial(3x)/\partial x=3 e \partial(e^{x})/\partial x=e^{x}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=3+e^{x},
a equação é exata.

Passo 4

Método de solução (ideia): se a equação é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Então construímos \Phi integrando M em relação a x e adicionando uma função arbitrária de y (já que a integração em x pode deixar uma “constante” que dependa de y).

Passo 5

Integro M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int \big(3y+y e^{x}\big)\,dx.
Calculando termo a termo:
\int 3y\,dx=3y\cdot x=3xy,
pois y é constante ao integrar em x;
\int y e^{x}\,dx=y\int e^{x}\,dx=y e^{x}.
Então
\Phi(x,y)=3xy+y e^{x}+h(y),
onde h(y) é alguma função que depende só de y (a “constante” de integração em relação a x).

Passo 6

Determino h(y) usando a condição \Phi_{y}=N. Primeiro calculo \Phi_{y}:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3xy+y e^{x}+h(y)\big)=3x+e^{x}+h'(y).
Essa expressão deve ser igual a N(x,y)=2+3x+e^{x}. Igualando:
3x+e^{x}+h'(y)=2+3x+e^{x}.
Cancelam 3x e e^{x}, sobrando
h'(y)=2.
Integro em y:
h(y)=\int 2\,dy=2y + C_0,
onde C_0 é uma constante real.

Passo 7

Substituo h(y) em \Phi. Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y)=3xy+y e^{x}+2y+C_0.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por \Phi(x,y)= constante. Podemos juntar constantes e escrever a solução final de forma limpa.

Passo 8

Escrevo a solução implícita final, agrupando y:
3xy+y e^{x}+2y=C,
onde C é constante arbitrária (absorvendo C_0). Alternativamente, fatorando:
y\big(3x+e^{x}+2\big)=C.

Resposta

A equação é exata.
3xy+y e^{x}+2y=C

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