A) (1,5 ponto) Resolva o problema de valor inicial dado por:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{x^{2} y+3 x} \operatorname{com} y(0)=5
B) (0,5 ponto) Determine o valor de y, referente a solução de (A), associado a ponto x=3.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que se pede e o que foi dado:
  • O problema pede resolver o problema de valor inicial:
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x^{2}y+3x}\quad\text{com}\quad y(0)=5.
  • Pergunta (A): encontrar a solução do PVI (ou uma relação implícita que a defina).
  • Pergunta (B): para a solução obtida em (A), determinar o valor de y quando x=3.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é dada para variáveis x e y(x).
  • A condição inicial é y(0)=5, isto é, quando x=0 temos y=5.
  • Note que no ponto x=0 a expressão original tem forma \tfrac{0}{0} (pois x^{2}y+3x=x( x y +3) se anula em x=0). Vou explicar no próximo passo como lidar com esse detalhe e como obter a solução globalmente usando uma mudança de variável (tratar x como função de y).

Passo 2

Observação sobre o ponto x=0 e reescrita da EDO para x\neq0.
  • Primeiro fatoramos o denominador para ver uma simplificação:
x^{2}y+3x = x\,(x y + 3).
  • Para x\neq0 podemos simplificar a razão:
\frac{2x}{x^{2}y+3x}=\frac{2x}{x(xy+3)}=\frac{2}{x y + 3}.
  • Assim, para x\neq0 a EDO fica
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{x y + 3}.
  • Perceba que a equação mistura x e y de tal forma que separar y e x diretamente não é trivial. Uma ideia útil é inverter a derivada (considerar x como função de y), pois então obtemos uma equação linear para x(y). Invertendo:
\frac{dx}{dy}=\frac{x y + 3}{2}.
  • Reescrevendo em forma padrão (equação linear de primeira ordem para x em função de y):
\frac{dx}{dy}-\frac{y}{2}\,x=\frac{3}{2}.
Explicação curta sobre essa forma: uma equação linear de 1ª ordem em x(y) tem forma \dfrac{dx}{dy}+P(y)\,x=Q(y). Aqui P(y)=-\dfrac{y}{2} e Q(y)=\dfrac{3}{2}.

Passo 3

Resolver a equação linear em x(y) por fator integrante (explicando o método).
  • Para a equação linear
\frac{dx}{dy}-\frac{y}{2}x=\frac{3}{2},
o fator integrante \mu(y) é dado por
\mu(y)=\exp\!\left(\int P(y)\,dy\right)=\exp\!\left(\int -\frac{y}{2}\,dy\right)=\exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right).
Explicação do fator integrante: multiplicando a equação por \mu(y) torna o lado esquerdo a derivada do produto \mu(y)x(y).
  • Multiplicando a equação por \mu(y) obtemos
\exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right)\frac{dx}{dy}-\frac{y}{2}\exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right)x=\frac{3}{2}\exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right).
  • O lado esquerdo é exatamente a derivada:
\frac{d}{dy}\!\left( x\,\exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right)\right)=\frac{3}{2}\exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right).
  • Integramos em y:
x\,\exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right)=\frac{3}{2}\int \exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right)\,dy + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Avaliar a integral e escrever a solução geral implicando a função de erro ( \operatorname{erf}).
  • A integral \displaystyle\int \exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right)\,dy é uma forma padrão que envolve a função erro \operatorname{erf}. Uma primitiva conhecida é
\int \exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right)\,dy=\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{y}{2}\right).
Breve explicação: a função erro é definida por \operatorname{erf}(t)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} e^{-s^{2}}\,ds. Fazendo mudança de variável s=y/2 chegamos à expressão usada.
  • Substituindo,
x\,\exp\!\left(-\frac{y^{2}}{4}\right)=\frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{y}{2}\right)+C.
  • Isolando x,
x=\frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,e^{\frac{y^{2}}{4}}\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{y}{2}\right)+C\,e^{\frac{y^{2}}{4}}.
Esta é a solução geral escrita como x em função de y. É uma solução implícita da EDO original; em geral não é possível isolar y em termos de x com funções elementares devido à presença de \operatorname{erf}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=5 para determinar a constante C. (Aqui usamos a condição corretamente na forma inversa x(y): quando x=0, y=5.)
  • A condição inicial corresponde a x=0 quando y=5. Substituindo na fórmula:
0=\frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,e^{\frac{25}{4}}\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{5}{2}\right)+C\,e^{\frac{25}{4}}.
  • Isolando C:
C=-\frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{5}{2}\right).
  • Substituindo C na solução geral obtemos a relação explícita entre x e y para a solução do PVI:
x=\frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,e^{\frac{y^{2}}{4}}\!\left(\operatorname{erf}\!\left(\frac{y}{2}\right)-\operatorname{erf}\!\left(\frac{5}{2}\right)\right).
Comentário sobre validade: embora a expressão original da EDO esteja escrita como \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{x^{2}y+3x} que não é bem definida exatamente em x=0, a solução obtida em x(y) passa por (x,y)=(0,5) e define uma solução que se ajusta ao dado inicial. Resolver com x em função de y é a forma correta aqui porque o lado direito da EDO não é bem definido (divisão por zero) ao tentar tratar y como função de x no ponto inicial.

Passo 6

Responder a (B): calcular y tal que x=3. Método prático: resolver numericamente a equação implícita obtida em (A).
  • A equação a resolver é
3=\frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,e^{\frac{y^{2}}{4}}\!\left(\operatorname{erf}\!\left(\frac{y}{2}\right)-\operatorname{erf}\!\left(\frac{5}{2}\right)\right).
  • Observação qualitativa: como \operatorname{erf} é crescente e \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{5}{2}\right) é muito próximo de 1, para y=5 a diferença é zero e x=0. Para y>5 a diferença torna-se positiva e x>0. Assim, para x=3>0 devemos ter y>5. Para encontrar y usamos método numérico (por exemplo bisseção ou secante). Mostro um esboço do processo numérico (valores aproximados usados):
    • Avaliando a função à esquerda definida por
    G(y)=\frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,e^{\frac{y^{2}}{4}}\!\left(\operatorname{erf}\!\left(\frac{y}{2}\right)-\operatorname{erf}\!\left(\frac{5}{2}\right)\right),encontramos G(5.68)\approx 2{,}95 e G(5.70)\approx 3{,}15. Como G é contínua e estritamente crescente nesse intervalo, há uma raiz única entre 5{,}68 e 5{,}70.
    • Interpolando/afetando iterações rápidas (secante linear) obtemos a aproximação
    y(3)\approx 5{,}683\quad(\text{três casas decimais}).ê
  • Se for necessário mais precisão, pode-se fazer iterações adicionais de Newton ou bisseção até a tolerância desejada.

Resposta

(A) x=\frac{3}{2}\sqrt{\pi}\,e^{\frac{y^{2}}{4}}\!\left(\operatorname{erf}\!\left(\frac{y}{2}\right)-\operatorname{erf}\!\left(\frac{5}{2}\right)\right)
(B) y(3)\approx 5{,}683

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