A)
ponto) Resolva o problema de valor inicial dado por:
B)
ponto) Determine o valor de
, referente a solução de
, associado a ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que se pede e o que foi dado:
- O problema pede resolver o problema de valor inicial:
- Pergunta (A): encontrar a solução do PVI (ou uma relação implícita que a defina).
- Pergunta (B): para a solução obtida em (A), determinar o valor de
quando .
Informações relevantes dadas:
- A equação é dada para variáveis
e . - A condição inicial é
, isto é, quando temos . - Note que no ponto
a expressão original tem forma (pois se anula em ). Vou explicar no próximo passo como lidar com esse detalhe e como obter a solução globalmente usando uma mudança de variável (tratar como função de ).
Passo 2
Observação sobre o ponto
e reescrita da EDO para
.
- Primeiro fatoramos o denominador para ver uma simplificação:
- Para
podemos simplificar a razão:
- Assim, para
a EDO fica
- Perceba que a equação mistura
e de tal forma que separar e diretamente não é trivial. Uma ideia útil é inverter a derivada (considerar como função de ), pois então obtemos uma equação linear para . Invertendo:
- Reescrevendo em forma padrão (equação linear de primeira ordem para
em função de ):
Explicação curta sobre essa forma: uma equação linear de 1ª ordem em
tem forma
. Aqui
e
.
Passo 3
Resolver a equação linear em
por fator integrante (explicando o método).
- Para a equação linear
o fator integrante
é dado por
Explicação do fator integrante: multiplicando a equação por
torna o lado esquerdo a derivada do produto
.
- Multiplicando a equação por
obtemos
- O lado esquerdo é exatamente a derivada:
- Integramos em
:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Avaliar a integral e escrever a solução geral implicando a função de erro (
).
- A integral
é uma forma padrão que envolve a função erro . Uma primitiva conhecida é
Breve explicação: a função erro é definida por
. Fazendo mudança de variável
chegamos à expressão usada.
- Substituindo,
- Isolando
,
Esta é a solução geral escrita como
em função de
. É uma solução implícita da EDO original; em geral não é possível isolar
em termos de
com funções elementares devido à presença de
.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante
. (Aqui usamos a condição corretamente na forma inversa
: quando
,
.)
- A condição inicial corresponde a
quando . Substituindo na fórmula:
- Isolando
:
- Substituindo
na solução geral obtemos a relação explícita entre e para a solução do PVI:
Comentário sobre validade: embora a expressão original da EDO esteja escrita como
que não é bem definida exatamente em
, a solução obtida em
passa por
e define uma solução que se ajusta ao dado inicial. Resolver com
em função de
é a forma correta aqui porque o lado direito da EDO não é bem definido (divisão por zero) ao tentar tratar
como função de
no ponto inicial.
Passo 6
Responder a (B): calcular
tal que
. Método prático: resolver numericamente a equação implícita obtida em (A).
- A equação a resolver é
- Observação qualitativa: como
é crescente e é muito próximo de , para a diferença é zero e . Para a diferença torna-se positiva e . Assim, para devemos ter . Para encontrar usamos método numérico (por exemplo bisseção ou secante). Mostro um esboço do processo numérico (valores aproximados usados): - Avaliando a função à esquerda definida por
encontramos e . Como é contínua e estritamente crescente nesse intervalo, há uma raiz única entre e . - Interpolando/afetando iterações rápidas (secante linear) obtemos a aproximação
- Se for necessário mais precisão, pode-se fazer iterações adicionais de Newton ou bisseção até a tolerância desejada.
Resposta
(A)
(B)