Encontre a equação do plano tangente à superficie
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e o ponto
. A pergunta é: qual é a equação do plano tangente a essa superfície no ponto dado? \n
Informações relevantes que temos do enunciado: \n
A superfície é dada por
\n
O ponto onde queremos o plano tangente é
\n
Observação imediata: podemos checar que o ponto realmente está na superfície calculando , que é o
fornecido.
Informações relevantes que temos do enunciado: \n
Observação imediata: podemos checar que o ponto realmente está na superfície calculando
Passo 2
Conceito que vamos usar (fórmula padrão do plano tangente): se
é diferenciável em
, o plano tangente em
é dado por
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
avaliadas em
. Elas representam as inclinações da superfície nas direções dos eixos
e
, respectivamente — pense nelas como “pendentes” nas direções
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
Usamos a regra da cadeia: se
com
, então
De forma análoga,
Explicando devagar: derivamos a potência
em relação a
(dando
) e multiplicamos pela derivada de
em relação a
(que é
). O
cancela com
, sobrando
.
Passo 4
Avaliação das derivadas no ponto
:
Portanto as inclinações naquelas direções são
e
.
Passo 5
Agora plugamos tudo na fórmula do plano tangente. Lembrando que
,
,
,
e
. Assim
Simplificando os parênteses
e
, obtemos
Passo 6
Vamos simplificar a expressão final passo a passo:
Somando tudo:
Combine as constantes
. Portanto sobra
Passo 7
Uma forma alternativa (às vezes mais conveniente) é escrever o plano em forma padrão multiplicando por
:
Essa forma mostra o vetor normal ao plano como
. Podemos verificar rapidamente que o ponto
satisfaz a equação:
, confirmado.