Encontre a equação do plano tangente à superficie z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} no ponto (-3,-4,5).

Passo 1

O enunciado dá a superfície \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; e o ponto \;(-3,-4,5)\;. A pergunta é: qual é a equação do plano tangente a essa superfície no ponto dado? \n
Informações relevantes que temos do enunciado: \n
\bullet A superfície é dada por \;z=f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;. \n
\bullet O ponto onde queremos o plano tangente é \;(a,b,f(a,b))=(-3,-4,5)\;. \n
Observação imediata: podemos checar que o ponto realmente está na superfície calculando \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5, que é o z fornecido.

Passo 2

Conceito que vamos usar (fórmula padrão do plano tangente): se \;z=f(x,y)\; é diferenciável em (a,b), o plano tangente em (a,b,f(a,b)) é dado por
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui \;f_x(a,b)\; e \;f_y(a,b)\; são as derivadas parciais de f em relação a x e y avaliadas em (a,b). Elas representam as inclinações da superfície nas direções dos eixos x e y, respectivamente — pense nelas como “pendentes” nas direções x e y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de \;f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2}\;. Usamos a regra da cadeia: se f(u) = u^{1/2} com u=x^{2}+y^{2}, então
f_x(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
De forma análoga,
f_y(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Explicando devagar: derivamos a potência u^{1/2} em relação a u (dando \tfrac{1}{2}u^{-1/2}) e multiplicamos pela derivada de u em relação a x (que é 2x). O 2 cancela com \tfrac{1}{2}, sobrando x/\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Avaliação das derivadas no ponto (a,b)=(-3,-4):
f_x(-3,-4)=\frac{-3}{\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5},
f_y(-3,-4)=\frac{-4}{\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}.
Portanto as inclinações naquelas direções são -\tfrac{3}{5} e -\tfrac{4}{5}.

Passo 5

Agora plugamos tudo na fórmula do plano tangente. Lembrando que f(a,b)=5, a=-3, b=-4, f_x(a,b)=-\tfrac{3}{5} e f_y(a,b)=-\tfrac{4}{5}. Assim
z = 5 + \Big(-\frac{3}{5}\Big)(x-(-3)) + \Big(-\frac{4}{5}\Big)(y-(-4)).
Simplificando os parênteses (x-(-3))=(x+3) e (y-(-4))=(y+4), obtemos
z = 5 -\frac{3}{5}(x+3) -\frac{4}{5}(y+4).

Passo 6

Vamos simplificar a expressão final passo a passo:
-\frac{3}{5}(x+3) = -\frac{3}{5}x - \frac{9}{5},
-\frac{4}{5}(y+4) = -\frac{4}{5}y - \frac{16}{5}.
Somando tudo:
z = 5 -\frac{3}{5}x - \frac{9}{5} -\frac{4}{5}y - \frac{16}{5}.
Combine as constantes \;5 - \frac{9}{5} - \frac{16}{5} = 5 - \frac{25}{5} = 5 - 5 = 0\;. Portanto sobra
z = -\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y.

Passo 7

Uma forma alternativa (às vezes mais conveniente) é escrever o plano em forma padrão multiplicando por 5:
5z = -3x -4y \quad\Longleftrightarrow\quad 3x + 4y + 5z = 0.
Essa forma mostra o vetor normal ao plano como (3,4,5). Podemos verificar rapidamente que o ponto (-3,-4,5) satisfaz a equação: 3(-3)+4(-4)+5(5)=-9-16+25=0, confirmado.

Resposta

z = -\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y

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