\operatorname{Lim}_{x \rightarrow \infty} \frac{3 x\left(x^{2}+1\right)+2}{x^{3}+\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a infinito da função
\frac{3x\left(x^{2}+1\right)+2}{x^{3}+\frac{1}{x}}.
Informações fornecidas:
  • A expressão completa é \dfrac{3x\left(x^{2}+1\right)+2}{x^{3}+\frac{1}{x}}.
  • A variável x tende a +\infty.
  • A tarefa é calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty} dessa expressão.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão algébrica, desenvolvendo o numerador:
3x\left(x^{2}+1\right)+2 = 3x^{3} + 3x + 2.
O denominador já é x^{3}+\dfrac{1}{x}, que pode também ser escrito como x^{3}+x^{-1}.

Passo 3

Explico uma técnica padrão para limites desse tipo: comparar as potências dominantes. Quando x\to\infty, os termos com maior grau em x dominam o comportamento de polinômios. Aqui o maior grau no numerador é x^{3} e no denominador também é x^{3}. Uma maneira formal de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência presente, que é x^{3}. Faço isso:
\frac{3x^{3}+3x+2}{x^{3}+x^{-1}} = \frac{\dfrac{3x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{3x}{x^{3}}+\dfrac{2}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{x^{-1}}{x^{3}}} = \frac{3+3x^{-2}+2x^{-3}}{1+x^{-4}}.

Passo 4

Agora uso o fato básico de limites: para qualquer k>0 vale
\lim_{x\to\infty} x^{-k} = 0,
porque x^{-k} = 1/x^{k} e 1/x^{k} vai a zero quando x cresce sem limite. Aplicando isso aos termos da fração:
\lim_{x\to\infty} \left(3+3x^{-2}+2x^{-3}\right) = 3+0+0 = 3,
\lim_{x\to\infty} \left(1+x^{-4}\right) = 1+0 = 1.
Portanto o limite da razão é o quociente desses limites:
\lim_{x\to\infty}\frac{3+3x^{-2}+2x^{-3}}{1+x^{-4}}=\frac{3}{1}=3.
Observação rápida (truque útil para prova): como os dois polinômios têm o mesmo grau ( 3), o limite no infinito é simplesmente a razão dos coeficientes líderes, isto é, 3/1=3. Isso confirma o resultado acima.

Resposta

3

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