Calcule a área da figura plana formada entre y=-x^{2}+4 x e y=x

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede a área da região plana situada entre elas:
  • Curva 1: y=-x^{2}+4x.
  • Curva 2: y=x.
Pergunta explícita: calcular a área da figura formada entre y=-x^{2}+4x e y=x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As duas equações das curvas estão dadas.
  • A área pedida é a região limitada onde as duas curvas se interceptam (ou seja, entre os pontos de interseção).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolve onde as duas curvas se encontram. Igualamos as duas expressões de y:
-x^{2}+4x = x.
Agora resolvemos essa equação para x. Primeiro colocamos tudo em um lado:
-x^{2}+4x - x = 0 \quad\Rightarrow\quad -x^{2}+3x=0.
Fatorando o lado esquerdo:
-x^{2}+3x = x(-x+3)=0.
As soluções são as raízes dos fatores, portanto
x=0 \quad\text{ou}\quad -x+3=0 \Rightarrow x=3.
Logo, as curvas se intersectam em x=0 e x=3.

Passo 3

Para montar a integral da área precisamos saber qual curva está acima da outra entre x=0 e x=3. Calculamos a diferença
\Delta(x)=\bigl(-x^{2}+4x\bigr)-x = -x^{2}+3x = x(3-x).
No intervalo aberto 0<x<3 temos x>0 e 3-x>0, então \Delta(x)>0. Portanto, para 0<x<3 a parábola y=-x^{2}+4x está acima da reta y=x. Isso confirma que a integranda será (curva superior) menos (curva inferior):
\text{integrando } \bigl(-x^{2}+4x\bigr)-x.

Passo 4

Fórmula do cálculo de área entre curvas (explicação didática curta): se duas funções contínuas y=f(x) e y=g(x) se cruzam em x=a e x=b e f(x)\ge g(x) para x\in[a,b], então a área da região entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui f(x)=-x^{2}+4x (função superior) e g(x)=x (função inferior), com limites a=0 e b=3. Assim:
\text{Área}=\int_{0}^{3}\bigl(-x^{2}+4x - x\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Simplificar a integranda antes de integrar:
-x^{2}+4x - x = -x^{2}+3x.
Portanto
\text{Área}=\int_{0}^{3}\bigl(-x^{2}+3x\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo usando a regra do poder: a antiderivada de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aplicando:
  • Antiderivada de -x^{2} é -\dfrac{x^{3}}{3}.
  • Antiderivada de 3x é 3\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{3}{2}x^{2}.
Logo uma primitiva da integranda é
F(x)=-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}.

Passo 7

Aplicar o teorema fundamental do cálculo: avaliar F(b)-F(a) com a=0 e b=3.
\text{Área}=F(3)-F(0).Á
Calculemos F(3):
F(3)=-\dfrac{3^{3}}{3}+\dfrac{3}{2}\,3^{2} = -\dfrac{27}{3}+\dfrac{3}{2}\cdot 9.
Simplificando cada termo:
-\dfrac{27}{3}=-9,\qquad \dfrac{3}{2}\cdot 9=\dfrac{27}{2}.
Portanto
F(3)=-9+\dfrac{27}{2} = -\dfrac{18}{2}+\dfrac{27}{2}=\dfrac{9}{2}.
E F(0)=0. Logo
\text{Área}=\dfrac{9}{2}.Á

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida: a área obtida é \dfrac{9}{2}, que em forma decimal é 4,5. Faz sentido porque a região é limitada entre x=0 e x=3 e a diferença das funções é um polinômio quadrático simples cuja integral resulta nesse valor.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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