Calcule a área da figura plana formada entre
e
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede a área da região plana situada entre elas:
- Curva 1:
. - Curva 2:
.
Pergunta explícita: calcular a área da figura formada entre
e
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As duas equações das curvas estão dadas.
- A área pedida é a região limitada onde as duas curvas se interceptam (ou seja, entre os pontos de interseção).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção resolve onde as duas curvas se encontram. Igualamos as duas expressões de
:
Agora resolvemos essa equação para
. Primeiro colocamos tudo em um lado:
Fatorando o lado esquerdo:
As soluções são as raízes dos fatores, portanto
Logo, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
Para montar a integral da área precisamos saber qual curva está acima da outra entre
e
. Calculamos a diferença
No intervalo aberto
temos
e
, então
. Portanto, para
a parábola
está acima da reta
. Isso confirma que a integranda será (curva superior) menos (curva inferior):
Passo 4
Fórmula do cálculo de área entre curvas (explicação didática curta): se duas funções contínuas
e
se cruzam em
e
e
para
, então a área da região entre elas é
Aqui
(função superior) e
(função inferior), com limites
e
. Assim:
Passo 5
Simplificar a integranda antes de integrar:
Portanto
Passo 6
Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo usando a regra do poder: a antiderivada de
é
. Aplicando:
- Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é .
Logo uma primitiva da integranda é
Passo 7
Aplicar o teorema fundamental do cálculo: avaliar
com
e
.
Calculemos
:
Simplificando cada termo:
Portanto
E
. Logo
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida: a área obtida é
, que em forma decimal é
. Faz sentido porque a região é limitada entre
e
e a diferença das funções é um polinômio quadrático simples cuja integral resulta nesse valor.