Considere equivalência envolvendo o se e somente se. Verifique se as duas proposições seguintes (
e
) são equivalentes.
Proposição
: “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par” e
: Se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as duas proposições são equivalentes. As proposições dadas (domínio: números inteiros) são:
-
Proposição
: “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par.”
Em forma simbólica: para todo inteiro, -
Proposição
: “Se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.”
Em forma simbólica: para todo inteiro,
O que precisamos decidir:
e
significam exatamente a mesma coisa (são logicamente equivalentes) ou não?
Passo 2
Pequena aula de lógica (para ficar tranquilo na prova):
-
A frase “A se e somente se B” (bicondicional) significa exatamente que temos as duas implicações:
e . Assim, Cada uma dessas setas é uma implicação (se… então…). -
Outro fato importante: para qualquer implicação
, a sua contrapositive é logicamente equivalente a . Ou seja, provar é o mesmo que provar .
Vou usar essas ideias para comparar
e
.
Passo 3
Expandindo
em implicações, obtemos (para todo inteiro
):
Logo
é a conjunção de (i) e (ii).
Agora escrevendo
com símbolos:
afirma
Note que “não é par” significa “é ímpar”. Então (b) é
Passo 4
Relacionando (ii) de
com (b’) de
: tome
= "
é ímpar" e
= "
é ímpar". A implicação (b’) é
. A contrapositive de
é
, isto é,
que é exatamente (ii). Assim (b’) é logicamente equivalente a (ii). Em palavras: provar que “se
é ímpar então
é ímpar” é o mesmo (logicamente) que provar “se
é par então
é par”.
Portanto, logicamente,
dá (a) que é (i) e (b’) que equivale a (ii). Logo estruturalmente
já contém as duas implicações de
. Mas falta mostrar que as implicações são verdadeiras — vamos provar cada uma com contas simples (útil para a prova).
Passo 5
Provar
.
Definição: um inteiro
é par se existe inteiro
tal que
Se
, então
A expressão
é um número da forma
, logo
é par. Isso prova (i) (e também a parte (a) de
).
Passo 6
Provar
.
Definição: um inteiro
é ímpar se existe inteiro
tal que
Se
, então
A expressão
é da forma
, ou seja, é ímpar. Assim
é ímpar. Isso prova (b’) (e, pela contrapositive, também prova (ii) de
).
Passo 7
Síntese e conclusão lógica: mostramos que
-
é equivalente à conjunção de (i) e (ii). -
é a conjunção de (a) = (i) e (b’) = “ímpar ⇒ quadrado ímpar”. - A implicação (b’) é logicamente equivalente à implicação (ii) por contrapositive.
- Algebraicamente provamos (i) e (b’) (portanto também (ii)).
Logo
e
afirmam exatamente as mesmas implicações verdadeiras sobre todos os inteiros. Portanto as duas proposições são logicamente equivalentes.
Força aí — você já tem a ideia e as provas diretas que pode repetir na prova sem medo: usar a definição de par/ímpar e a contrapositive quando aparecer “não é par”!
Resposta
Sim. As duas proposições
e
são logicamente equivalentes.