Considere equivalência envolvendo o se e somente se. Verifique se as duas proposições seguintes ( \mathrm{P}_{1} e \mathrm{P}_{2} ) são equivalentes.
Proposição \mathrm{P}_{1} : “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par” e
\mathrm{P}_{2} : Se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as duas proposições são equivalentes. As proposições dadas (domínio: números inteiros) são:
  • Proposição \mathrm{P}_{1}: “um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par.”
    Em forma simbólica: para todo inteiro n,
    n\\ \text{é par} \iff n^{2}\\ \text{é par}.éé
  • Proposição \mathrm{P}_{2}: “Se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.”
    Em forma simbólica: para todo inteiro n,
    \bigl(n\\ \text{é par} \Rightarrow n^{2}\\ \text{é par}\bigr)\\ \text{e}\\ \bigl(n\\ \text{não é par} \Rightarrow n^{2}\\ \text{não é par}\bigr).ééãéãé
O que precisamos decidir: \mathrm{P}_{1} e \mathrm{P}_{2} significam exatamente a mesma coisa (são logicamente equivalentes) ou não?

Passo 2

Pequena aula de lógica (para ficar tranquilo na prova):
  • A frase “A se e somente se B” (bicondicional) significa exatamente que temos as duas implicações: A \Rightarrow B e B \Rightarrow A. Assim,
    A \iff B \quad\text{é equivalente a}\quad (A \Rightarrow B)\\ \text{e}\\ (B \Rightarrow A).é
    Cada uma dessas setas é uma implicação (se… então…).
  • Outro fato importante: para qualquer implicação X \Rightarrow Y, a sua contrapositive \neg Y \Rightarrow \neg X é logicamente equivalente a X \Rightarrow Y. Ou seja, provar X \Rightarrow Y é o mesmo que provar \neg Y \Rightarrow \neg X.
Vou usar essas ideias para comparar \mathrm{P}_{1} e \mathrm{P}_{2}.

Passo 3

Expandindo \mathrm{P}_{1} em implicações, obtemos (para todo inteiro n):
\text{(i)}\quad n\\ \text{é par} \Rightarrow n^{2}\\ \text{é par},éé
\text{(ii)}\quad n^{2}\\ \text{é par} \Rightarrow n\\ \text{é par}.éé
Logo \mathrm{P}_{1} é a conjunção de (i) e (ii).
Agora escrevendo \mathrm{P}_{2} com símbolos: \mathrm{P}_{2} afirma
\text{(a)}\quad n\\ \text{é par} \Rightarrow n^{2}\\ \text{é par},éé
\text{(b)}\quad n\\ \text{não é par} \Rightarrow n^{2}\\ \text{não é par}.ãéãé
Note que “não é par” significa “é ímpar”. Então (b) é
\text{(b')} \quad n\\ \text{é ímpar} \Rightarrow n^{2}\\ \text{é ímpar}.éíéí

Passo 4

Relacionando (ii) de \mathrm{P}_{1} com (b’) de \mathrm{P}_{2}: tome X = " n é ímpar" e Y = " n^{2} é ímpar". A implicação (b’) é X \Rightarrow Y. A contrapositive de X \Rightarrow Y é \neg Y \Rightarrow \neg X, isto é,
\text{(b') contrapositive} \quad n^{2}\\ \text{é par} \Rightarrow n\\ \text{é par},éé
que é exatamente (ii). Assim (b’) é logicamente equivalente a (ii). Em palavras: provar que “se n é ímpar então n^2 é ímpar” é o mesmo (logicamente) que provar “se n^2 é par então n é par”.
Portanto, logicamente, \mathrm{P}_{2} dá (a) que é (i) e (b’) que equivale a (ii). Logo estruturalmente \mathrm{P}_{2} já contém as duas implicações de \mathrm{P}_{1}. Mas falta mostrar que as implicações são verdadeiras — vamos provar cada uma com contas simples (útil para a prova).

Passo 5

Provar n\\ \text{é par} \Rightarrow n^{2}\\ \text{é par}éé.
Definição: um inteiro n é par se existe inteiro k tal que
n = 2k.
Se n=2k, então
n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} = 2\bigl(2k^{2}\bigr).
A expressão 2(2k^{2}) é um número da forma 2\cdot(\text{inteiro}), logo n^{2} é par. Isso prova (i) (e também a parte (a) de \mathrm{P}_{2}).

Passo 6

Provar n\\ \text{é ímpar} \Rightarrow n^{2}\\ \text{é ímpar}éíéí.
Definição: um inteiro n é ímpar se existe inteiro k tal que
n = 2k+1.
Se n=2k+1, então
n^{2} = (2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2\bigl(2k^{2}+2k\bigr) + 1.
A expressão 2\bigl(2k^{2}+2k\bigr)+1 é da forma 2m+1, ou seja, é ímpar. Assim n^{2} é ímpar. Isso prova (b’) (e, pela contrapositive, também prova (ii) de \mathrm{P}_{1}).

Passo 7

Síntese e conclusão lógica: mostramos que
  • \mathrm{P}_{1} é equivalente à conjunção de (i) e (ii).
  • \mathrm{P}_{2} é a conjunção de (a) = (i) e (b’) = “ímpar ⇒ quadrado ímpar”.
  • A implicação (b’) é logicamente equivalente à implicação (ii) por contrapositive.
  • Algebraicamente provamos (i) e (b’) (portanto também (ii)).
Logo \mathrm{P}_{1} e \mathrm{P}_{2} afirmam exatamente as mesmas implicações verdadeiras sobre todos os inteiros. Portanto as duas proposições são logicamente equivalentes.
Força aí — você já tem a ideia e as provas diretas que pode repetir na prova sem medo: usar a definição de par/ímpar e a contrapositive quando aparecer “não é par”!

Resposta

Sim. As duas proposições \mathrm{P}_{1} e \mathrm{P}_{2} são logicamente equivalentes.

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