Verifique se as duas sentenças seguintes (
e
) são logicamente equivalentes:
: Se Fulano mentiu e debochou, então ele é culpado.
: Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu ou não debochou.
Passo 1
O enunciado dá duas sentenças sobre Fulano e pede para verificar se elas são logicamente equivalentes.
Vou definir proposições simples para formalizar as sentenças (pegando estas letras do enunciado):
-
: “Fulano mentiu”. -
: “Fulano debochou”. -
: “Fulano é culpado”.
Escrever as sentenças em linguagem simbólica:
-
: “Se Fulano mentiu e debochou, então ele é culpado.” Isso fica
-
: “Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu ou não debochou.” Isso fica
A pergunta é:
e
têm exatamente os mesmos valores de verdade para todas as possíveis combinações de
? Ou seja, são logicamente equivalentes?
Passo 2
Vamos lembrar umas regras básicas (explicando passo a passo, sem pular etapas):
- Implicação. Para quaisquer proposições
e , a implicação
é logicamente equivalente à disjunção
Significado intuitivo: "Se
então
" é equivalente a “ou
não acontece, ou
acontece” — porque a única situação que torna
falsa é
verdadeira e
falsa; em todas as outras é verdadeira.
- Leis de De Morgan. Para quaisquer proposições
e ,
Isto é, a negação de uma conjunção vira disjunção das negações (e vice‑versa).
- Dois enunciados são logicamente equivalentes quando podem ser transformados por essas equivalências e chegar exatamente à mesma fórmula (ou quando suas tabelas de verdade coincidem).
Passo 3
Aplicar a equivalência da implicação a
. Partindo de
usando
com
e
, obtemos
Passo 4
Agora aplicar a mesma equivalência a
. Partindo de
usando
com
e
, obtemos
Como
é equivalente a
, temos
Passo 5
Voltar a
e aplicar De Morgan em
. Temos
portanto, usando isso em
de Passo 3,
Passo 6
Usando a associatividade e comutatividade da disjunção (ordem não importa em “ou”), as fórmulas obtidas em Passo 5 e Passo 4 são idênticas:
Logo as duas sentenças têm a mesma forma lógica final e, portanto, são logicamente equivalentes.
Observação conceptual (útil para a prova):
é exatamente a contrapositiva de
. Em geral,
é logicamente equivalente à sua contrapositiva
. Aqui
é
e
é
; a contrapositiva é
, que por De Morgan vira
, isto é
.
Resposta
Sim.
e
são logicamente equivalentes.