Verifique se as duas sentenças seguintes ( \mathrm{S}_{1} e \mathrm{S}_{2} ) são logicamente equivalentes:
\mathrm{S}_{1} : Se Fulano mentiu e debochou, então ele é culpado.
\mathrm{S}_{2} : Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu ou não debochou.

Passo 1

O enunciado dá duas sentenças sobre Fulano e pede para verificar se elas são logicamente equivalentes.
Vou definir proposições simples para formalizar as sentenças (pegando estas letras do enunciado):
  • M: “Fulano mentiu”.
  • D: “Fulano debochou”.
  • C: “Fulano é culpado”.
Escrever as sentenças em linguagem simbólica:
  • \mathrm{S}_1: “Se Fulano mentiu e debochou, então ele é culpado.” Isso fica
\mathrm{S}_1:\quad (M\land D)\to C.
  • \mathrm{S}_2: “Se Fulano não é culpado, então ele não mentiu ou não debochou.” Isso fica
\mathrm{S}_2:\quad \neg C\to(\neg M\lor\neg D).
A pergunta é: \mathrm{S}_1 e \mathrm{S}_2 têm exatamente os mesmos valores de verdade para todas as possíveis combinações de M,D,C? Ou seja, são logicamente equivalentes?

Passo 2

Vamos lembrar umas regras básicas (explicando passo a passo, sem pular etapas):
  1. Implicação. Para quaisquer proposições P e Q, a implicação
P\to Q
é logicamente equivalente à disjunção
\neg P\lor Q.
Significado intuitivo: "Se P então Q" é equivalente a “ou P não acontece, ou Q acontece” — porque a única situação que torna P\to Q falsa é P verdadeira e Q falsa; em todas as outras é verdadeira.
  1. Leis de De Morgan. Para quaisquer proposições A e B,
\neg(A\land B)\equiv \neg A\lor\neg B, \qquad \neg(A\lor B)\equiv \neg A\land\neg B.
Isto é, a negação de uma conjunção vira disjunção das negações (e vice‑versa).
  1. Dois enunciados são logicamente equivalentes quando podem ser transformados por essas equivalências e chegar exatamente à mesma fórmula (ou quando suas tabelas de verdade coincidem).

Passo 3

Aplicar a equivalência da implicação a \mathrm{S}_1. Partindo de
\mathrm{S}_1:\quad (M\land D)\to C,
usando P\to Q\equiv \neg P\lor Q com P\equiv (M\land D) e Q\equiv C, obtemos
\mathrm{S}_1 \equiv \neg(M\land D)\lor C.

Passo 4

Agora aplicar a mesma equivalência a \mathrm{S}_2. Partindo de
\mathrm{S}_2:\quad \neg C\to(\neg M\lor\neg D),
usando P\to Q\equiv \neg P\lor Q com P\equiv \neg C e Q\equiv (\neg M\lor\neg D), obtemos
\mathrm{S}_2 \equiv \neg(\neg C)\lor(\neg M\lor\neg D).
Como \neg(\neg C) é equivalente a C, temos
\mathrm{S}_2 \equiv C\lor(\neg M\lor\neg D).

Passo 5

Voltar a \mathrm{S}_1 e aplicar De Morgan em \neg(M\land D). Temos
\neg(M\land D)\equiv \neg M\lor\neg D,
portanto, usando isso em \mathrm{S}_1 de Passo 3,
\mathrm{S}_1 \equiv (\neg M\lor\neg D)\lor C.

Passo 6

Usando a associatividade e comutatividade da disjunção (ordem não importa em “ou”), as fórmulas obtidas em Passo 5 e Passo 4 são idênticas:
\mathrm{S}_1 \equiv C\lor\neg M\lor\neg D \equiv \mathrm{S}_2.
Logo as duas sentenças têm a mesma forma lógica final e, portanto, são logicamente equivalentes.
Observação conceptual (útil para a prova): \mathrm{S}_2 é exatamente a contrapositiva de \mathrm{S}_1. Em geral, P\to Q é logicamente equivalente à sua contrapositiva \neg Q\to\neg P. Aqui P é M\land D e Q é C; a contrapositiva é \neg C\to\neg(M\land D), que por De Morgan vira \neg C\to(\neg M\lor\neg D), isto é \mathrm{S}_2.

Resposta

Sim. \mathrm{S}_1 e \mathrm{S}_2 são logicamente equivalentes.

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