Gere e apresente 10 sentenças expressas em linguagem natural (português ou inglês), em seguida traduza-as para a linguagem da lógica proposicional e classifique cada uma delas entre tautologia, satisfatível e contradição.
Passo 1
O enunciado pede que eu gere 10 sentenças em linguagem natural (português ou inglês), traduza cada sentença para a linguagem da lógica proposicional e classifique cada fórmula como sendo uma tautologia, satisfatível (mas não tautologia) ou contradição.
Informações fornecidas: você quer 10 sentenças + tradução + classificação. Não há imagens ou dados extras. Vou produzir as 10 sentenças, indicar quais átomos proposicionais uso (o que cada letra representa), escrever a fórmula em lógica proposicional e justificar a classificação com explicações didáticas e passo a passo.
Informações fornecidas: você quer 10 sentenças + tradução + classificação. Não há imagens ou dados extras. Vou produzir as 10 sentenças, indicar quais átomos proposicionais uso (o que cada letra representa), escrever a fórmula em lógica proposicional e justificar a classificação com explicações didáticas e passo a passo.
Passo 2
Rápida aula para entender o que pede a classificação (sem pular etapas):
- Uma proposição atômica é uma frase que pode ser verdadeira ou falsa; uso letras como
para representá-las. Vou explicar o significado de cada letra quando usar. - Conectivos básicos:
-
significa “não” (negação). -
significa “e” (conjunção). -
significa “ou” (disjunção) — interpretarei como “ou inclusive” (pode ser ambos) quando usar simplesmente . -
significa “se … então …” (implicação). -
significa “se e somente se” (bicondicional).
-
- Definições importantes:
- Tautologia: uma fórmula é tautologia se ela é verdadeira para toda atribuição possível de verdade às suas variáveis. Em símbolos: a fórmula
é tautologia se, para toda valuation , . - Contradição: uma fórmula é contradição se ela é falsa para toda atribuição possível. Em símbolos: para toda valuation
, . - Satisfatível (mas não tautologia): uma fórmula é satisfatível se existe pelo menos uma atribuição que a torna verdadeira; se existe alguma atribuição que a torna falsa, então não é tautologia. Portanto “satisfatível” inclui muitas fórmulas úteis que não são nem tautologias nem contradições.
- Tautologia: uma fórmula é tautologia se ela é verdadeira para toda atribuição possível de verdade às suas variáveis. Em símbolos: a fórmula
- Como eu vou justificar: para fórmulas simples eu mostro uma pequena tabela de valores ou uso equivalências lógicas conhecidas (por exemplo,
é logicamente equivalente a ). Vou explicar cada equivalência para você poder usar na prova.
Passo 3
Organização prática: para cada uma das 10 sentenças farei:
- Apresentação da frase em linguagem natural.
- Definição dos átomos proposicionais usados (o que cada letra representa).
- Tradução para a fórmula proposicional (em TeX).
- Classificação (tautologia / satisfatível / contradição) com justificativa passo a passo (tabela pequena ou equivalências e exemplos de valuations).
Passo 4
Sentença 1 (frase, tradução e classificação)
- Frase (português): “Está chovendo ou não está chovendo.”
Átomo:= “está chovendo”.
Tradução:.
Classificação e justificativa: esta é a lei do terceiro excluído. Avaliando as únicas duas possibilidades para:
- Se
, então . - Se
, então .
Em ambas as atribuições a fórmula é verdadeira, logo é uma tautologia.
Passo 5
Sentença 2
2) Frase (português): “Está chovendo e não está chovendo.”
Átomo: = “está chovendo”.
Tradução: .
Classificação e justificativa: esta é a negação da possibilidade de ser simultaneamente verdadeira e falsa. Verificando:
2) Frase (português): “Está chovendo e não está chovendo.”
Átomo:
Tradução:
Classificação e justificativa: esta é a negação da possibilidade de
- Se
, então . - Se
, então .
Em todas as atribuições a fórmula é falsa, logo é uma contradição.
Passo 6
Sentença 3
3) Frase (português): “Se está chovendo então o chão está molhado.”
Átomos: = “está chovendo”,
= “o chão está molhado”.
Tradução: .
Classificação e justificativa: esta fórmula é satisfatível, mas não é tautologia em geral. Explico:
3) Frase (português): “Se está chovendo então o chão está molhado.”
Átomos:
Tradução:
Classificação e justificativa: esta fórmula é satisfatível, mas não é tautologia em geral. Explico:
- Um contraexemplo para ser tautologia é
. Nesse caso (uma implicação com antecedente verdadeiro e consequência falsa é falsa). Portanto não é tautologia. - Porém, existem valuations que a tornam verdadeira: por exemplo
dá (implicação com antecedente falso é verdadeira). Logo é satisfatível (há atribuições que a tornam verdadeira) e não é contradição. Conclusão: satisfatível (não tautologia).
Passo 7
Sentença 4
4) Frase (português): “Se o chão está molhado então está chovendo.”
Átomos: = “está chovendo”,
= “o chão está molhado”.
Tradução: .
Classificação e justificativa: mesma análise do caso anterior, trocando os papéis. Não é tautologia porque torna a fórmula falsa. É satisfatível porque, por exemplo,
com qualquer
faz a implicação verdadeira. Logo: satisfatível (não tautologia).
4) Frase (português): “Se o chão está molhado então está chovendo.”
Átomos:
Tradução:
Classificação e justificativa: mesma análise do caso anterior, trocando os papéis. Não é tautologia porque
Passo 8
Sentença 5
5) Frase (português): “Ou está chovendo ou está ensolarado, mas não os dois.” (ou exclusivo)
Átomos: = “está chovendo”,
= “está ensolarado”.
Tradução: .
Classificação e justificativa: esta fórmula é satisfeita exatamente quando uma das proposições é verdadeira e a outra é falsa — ou seja, é satisfatível mas não tautologia. Mostro algumas valuations:
5) Frase (português): “Ou está chovendo ou está ensolarado, mas não os dois.” (ou exclusivo)
Átomos:
Tradução:
Classificação e justificativa: esta fórmula é satisfeita exatamente quando uma das proposições é verdadeira e a outra é falsa — ou seja, é satisfatível mas não tautologia. Mostro algumas valuations:
-
=> . -
=> .
Como existe ao menos uma valuation que dá verdadeiro e ao menos uma que dá falso, é satisfatível e não é tautologia.
Passo 9
Sentença 6
6) Frase (português): “Se está chovendo então está chovendo.” (identidade)
Átomo: = “está chovendo”.
Tradução: .
Classificação e justificativa: implicação reflexiva. Verificando:
6) Frase (português): “Se está chovendo então está chovendo.” (identidade)
Átomo:
Tradução:
Classificação e justificativa: implicação reflexiva. Verificando:
- Se
então . - Se
então (implicação com antecedente falso é verdadeira).
Em ambas as possibilidades é verdadeira, então é uma tautologia. Essa é uma lei lógica simples (identidade da implicação).
Passo 10
Sentença 7
7) Frase (português): “Está chovendo se e somente se está ensolarado.”
Átomos: = “está chovendo”,
= “está ensolarado”.
Tradução: .
Classificação e justificativa: o bicondicional é verdadeiro quando e
têm o mesmo valor de verdade. Há valuations que tornam a fórmula verdadeira (por exemplo
) e valuations que a tornam falsa (por exemplo
). Logo é satisfatível e não é tautologia. Para ver:
dá verdadeiro;
dá falso.
7) Frase (português): “Está chovendo se e somente se está ensolarado.”
Átomos:
Tradução:
Classificação e justificativa: o bicondicional é verdadeiro quando
Passo 11
Sentença 8
8) Frase (português): “Não (se está chovendo então o chão está seco).” — ou seja, a negação de uma implicação.
Átomos: = “está chovendo”,
= “o chão está molhado”. (a frase fala de “chão está seco”, então uso
para “chão está seco”)
Tradução (interpretação direta da forma): .
Observação alternativa e simplificação: é logicamente equivalente a
. Explico a equivalência:
8) Frase (português): “Não (se está chovendo então o chão está seco).” — ou seja, a negação de uma implicação.
Átomos:
Tradução (interpretação direta da forma):
Observação alternativa e simplificação:
- A implicação
é equivalente a . - Negando:
(pela lei de De Morgan).
Classificação e justificativa:é satisfatível (por exemplo dá verdadeiro) e não é tautologia (pode ser falso quando ou ). Portanto a fórmula original é satisfatível (não tautologia).
Passo 12
Sentença 9
9) Frase (português): “Se (se está chovendo então o chão fica molhado) e está chovendo, então o chão fica molhado.” — forma do modus ponens formalizada.
Átomos: = “está chovendo”,
= “o chão fica molhado”.
Tradução: .
Classificação e justificativa: esta fórmula é válida por regra de inferência (modus ponens) — ou seja, é uma tautologia. Mostro a razão por casos:
9) Frase (português): “Se (se está chovendo então o chão fica molhado) e está chovendo, então o chão fica molhado.” — forma do modus ponens formalizada.
Átomos:
Tradução:
Classificação e justificativa: esta fórmula é válida por regra de inferência (modus ponens) — ou seja, é uma tautologia. Mostro a razão por casos:
- Se
e , então necessariamente ; portanto antecedente só pode ser verdadeiro quando , logo a implicação global é verdadeira. - Analiticamente, a expressão
é sempre verdadeira em qualquer valuation (pode-se verificar por tabela de 4 linhas para ; nas linhas em que antecedente é verdadeiro, a consequência é verdadeira; onde antecedente é falso, a implicação é verdadeira por definição). Portanto é tautologia.
Passo 13
Sentença 10
10) Frase (português): “O chão está molhado exatamente quando está chovendo ou o aspersor está ligado.”
Átomos: = “está chovendo”,
= “o aspersor está ligado”,
= “o chão está molhado”.
Tradução: .
Classificação e justificativa: esta é uma equivalência que relaciona com
. A fórmula é satisfeita em valuations onde
coincide com
, e é falsa onde não coincide. Existem valuations que a tornam verdadeira (por exemplo
) e valuations que a tornam falsa (por exemplo
). Logo: satisfatível e não tautologia.
10) Frase (português): “O chão está molhado exatamente quando está chovendo ou o aspersor está ligado.”
Átomos:
Tradução:
Classificação e justificativa: esta é uma equivalência que relaciona
Resposta
-
Está chovendo ou não está chovendo. — Tradução:
— Tautologia -
Está chovendo e não está chovendo. — Tradução:
— Contradição -
Se está chovendo então o chão está molhado. — Tradução:
— Satisfatível -
Se o chão está molhado então está chovendo. — Tradução:
— Satisfatível -
Ou está chovendo ou está ensolarado, mas não os dois. — Tradução:
— Satisfatível -
Se está chovendo então está chovendo. — Tradução:
— Tautologia -
Está chovendo se e somente se está ensolarado. — Tradução:
— Satisfatível -
Não (se está chovendo então o chão está seco). — Tradução:
(equivalente a ) — Satisfatível -
Se [(se está chovendo então o chão fica molhado) e está chovendo] então o chão fica molhado. — Tradução:
— Tautologia -
O chão está molhado se e somente se está chovendo ou o aspersor está ligado. — Tradução:
— Satisfatível