Gere e apresente 10 sentenças expressas em linguagem natural (português ou inglês), em seguida traduza-as para a linguagem da lógica proposicional e classifique cada uma delas entre tautologia, satisfatível e contradição.

Passo 1

O enunciado pede que eu gere 10 sentenças em linguagem natural (português ou inglês), traduza cada sentença para a linguagem da lógica proposicional e classifique cada fórmula como sendo uma tautologia, satisfatível (mas não tautologia) ou contradição.
Informações fornecidas: você quer 10 sentenças + tradução + classificação. Não há imagens ou dados extras. Vou produzir as 10 sentenças, indicar quais átomos proposicionais uso (o que cada letra representa), escrever a fórmula em lógica proposicional e justificar a classificação com explicações didáticas e passo a passo.

Passo 2

Rápida aula para entender o que pede a classificação (sem pular etapas):
  • Uma proposição atômica é uma frase que pode ser verdadeira ou falsa; uso letras como p,q,r,s para representá-las. Vou explicar o significado de cada letra quando usar.
  • Conectivos básicos:
    • \lnot significa “não” (negação).
    • \land significa “e” (conjunção).
    • \lor significa “ou” (disjunção) — interpretarei como “ou inclusive” (pode ser ambos) quando usar simplesmente \lor.
    • \rightarrow significa “se … então …” (implicação).
    • \leftrightarrow significa “se e somente se” (bicondicional).
  • Definições importantes:
    • Tautologia: uma fórmula é tautologia se ela é verdadeira para toda atribuição possível de verdade às suas variáveis. Em símbolos: a fórmula \varphi é tautologia se, para toda valuation v, v(\varphi)=\text{V}.
    • Contradição: uma fórmula é contradição se ela é falsa para toda atribuição possível. Em símbolos: para toda valuation v, v(\varphi)=\text{F}.
    • Satisfatível (mas não tautologia): uma fórmula é satisfatível se existe pelo menos uma atribuição que a torna verdadeira; se existe alguma atribuição que a torna falsa, então não é tautologia. Portanto “satisfatível” inclui muitas fórmulas úteis que não são nem tautologias nem contradições.
  • Como eu vou justificar: para fórmulas simples eu mostro uma pequena tabela de valores ou uso equivalências lógicas conhecidas (por exemplo, \lnot(p\rightarrow q) é logicamente equivalente a p\land\lnot q). Vou explicar cada equivalência para você poder usar na prova.

Passo 3

Organização prática: para cada uma das 10 sentenças farei:
  1. Apresentação da frase em linguagem natural.
  2. Definição dos átomos proposicionais usados (o que cada letra representa).
  3. Tradução para a fórmula proposicional (em TeX).
  4. Classificação (tautologia / satisfatível / contradição) com justificativa passo a passo (tabela pequena ou equivalências e exemplos de valuations).

Passo 4

Sentença 1 (frase, tradução e classificação)
  1. Frase (português): “Está chovendo ou não está chovendo.”
    Átomo: p = “está chovendo”.
    Tradução: \;p \lor \lnot p.
    Classificação e justificativa: esta é a lei do terceiro excluído. Avaliando as únicas duas possibilidades para p:
  • Se p=\text{V}, então p\lor\lnot p=\text{V}\lor\text{F}=\text{V}.
  • Se p=\text{F}, então p\lor\lnot p=\text{F}\lor\text{V}=\text{V}.
    Em ambas as atribuições a fórmula é verdadeira, logo é uma tautologia.

Passo 5

Sentença 2
2) Frase (português): “Está chovendo e não está chovendo.”
Átomo: p = “está chovendo”.
Tradução: \;p \land \lnot p.
Classificação e justificativa: esta é a negação da possibilidade de p ser simultaneamente verdadeira e falsa. Verificando:
  • Se p=\text{V}, então p\land\lnot p=\text{V}\land\text{F}=\text{F}.
  • Se p=\text{F}, então p\land\lnot p=\text{F}\land\text{V}=\text{F}.
    Em todas as atribuições a fórmula é falsa, logo é uma contradição.

Passo 6

Sentença 3
3) Frase (português): “Se está chovendo então o chão está molhado.”
Átomos: p = “está chovendo”, q = “o chão está molhado”.
Tradução: \;p \rightarrow q.
Classificação e justificativa: esta fórmula é satisfatível, mas não é tautologia em geral. Explico:
  • Um contraexemplo para ser tautologia é p=\text{V}, q=\text{F}. Nesse caso p\rightarrow q=\text{F} (uma implicação com antecedente verdadeiro e consequência falsa é falsa). Portanto não é tautologia.
  • Porém, existem valuations que a tornam verdadeira: por exemplo p=\text{F}, q=\text{F} p\rightarrow q=\text{V} (implicação com antecedente falso é verdadeira). Logo é satisfatível (há atribuições que a tornam verdadeira) e não é contradição. Conclusão: satisfatível (não tautologia).

Passo 7

Sentença 4
4) Frase (português): “Se o chão está molhado então está chovendo.”
Átomos: p = “está chovendo”, q = “o chão está molhado”.
Tradução: \;q \rightarrow p.
Classificação e justificativa: mesma análise do caso anterior, trocando os papéis. Não é tautologia porque q=\text{V}, p=\text{F} torna a fórmula falsa. É satisfatível porque, por exemplo, q=\text{F} com qualquer p faz a implicação verdadeira. Logo: satisfatível (não tautologia).

Passo 8

Sentença 5
5) Frase (português): “Ou está chovendo ou está ensolarado, mas não os dois.” (ou exclusivo)
Átomos: p = “está chovendo”, r = “está ensolarado”.
Tradução: (p \lor r) \land \lnot(p \land r).
Classificação e justificativa: esta fórmula é satisfeita exatamente quando uma das proposições é verdadeira e a outra é falsa — ou seja, é satisfatível mas não tautologia. Mostro algumas valuations:
  • p=\text{V}, r=\text{F} => (\text{V}\lor\text{F})\land\lnot(\text{V}\land\text{F})=\text{V}\land\lnot\text{F}=\text{V}\land\text{V}=\text{V}.
  • p=\text{V}, r=\text{V} => (\text{V}\lor\text{V})\land\lnot(\text{V}\land\text{V})=\text{V}\land\lnot\text{V}=\text{V}\land\text{F}=\text{F}.
    Como existe ao menos uma valuation que dá verdadeiro e ao menos uma que dá falso, é satisfatível e não é tautologia.

Passo 9

Sentença 6
6) Frase (português): “Se está chovendo então está chovendo.” (identidade)
Átomo: p = “está chovendo”.
Tradução: \;p \rightarrow p.
Classificação e justificativa: implicação reflexiva. Verificando:
  • Se p=\text{V} então p\rightarrow p=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • Se p=\text{F} então p\rightarrow p=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V} (implicação com antecedente falso é verdadeira).
    Em ambas as possibilidades é verdadeira, então é uma tautologia. Essa é uma lei lógica simples (identidade da implicação).

Passo 10

Sentença 7
7) Frase (português): “Está chovendo se e somente se está ensolarado.”
Átomos: p = “está chovendo”, r = “está ensolarado”.
Tradução: \;p \leftrightarrow r.
Classificação e justificativa: o bicondicional é verdadeiro quando p e r têm o mesmo valor de verdade. Há valuations que tornam a fórmula verdadeira (por exemplo p=\text{V}, r=\text{V}) e valuations que a tornam falsa (por exemplo p=\text{V}, r=\text{F}). Logo é satisfatível e não é tautologia. Para ver: p=\text{F}, r=\text{F} dá verdadeiro; p=\text{V}, r=\text{F} dá falso.

Passo 11

Sentença 8
8) Frase (português): “Não (se está chovendo então o chão está seco).” — ou seja, a negação de uma implicação.
Átomos: p = “está chovendo”, q = “o chão está molhado”. (a frase fala de “chão está seco”, então uso \lnot q para “chão está seco”)
Tradução (interpretação direta da forma): \;\lnot(p \rightarrow \lnot q).
Observação alternativa e simplificação: \lnot(p \rightarrow \lnot q) é logicamente equivalente a p \land q. Explico a equivalência:
  • A implicação p \rightarrow \lnot q é equivalente a \lnot p \lor \lnot q.
  • Negando: \lnot(p \rightarrow \lnot q) \equiv \lnot(\lnot p \lor \lnot q) \equiv p \land q (pela lei de De Morgan).
    Classificação e justificativa: p \land q é satisfatível (por exemplo p=\text{V}, q=\text{V} dá verdadeiro) e não é tautologia (pode ser falso quando p=\text{F} ou q=\text{F}). Portanto a fórmula original é satisfatível (não tautologia).

Passo 12

Sentença 9
9) Frase (português): “Se (se está chovendo então o chão fica molhado) e está chovendo, então o chão fica molhado.” — forma do modus ponens formalizada.
Átomos: p = “está chovendo”, q = “o chão fica molhado”.
Tradução: \;((p \rightarrow q) \land p) \rightarrow q.
Classificação e justificativa: esta fórmula é válida por regra de inferência (modus ponens) — ou seja, é uma tautologia. Mostro a razão por casos:
  • Se p=\text{V} e p\rightarrow q=\text{V}, então necessariamente q=\text{V}; portanto antecedente (p\rightarrow q)\land p só pode ser verdadeiro quando q=\text{V}, logo a implicação global é verdadeira.
  • Analiticamente, a expressão ((p\rightarrow q)\land p)\rightarrow q é sempre verdadeira em qualquer valuation (pode-se verificar por tabela de 4 linhas para p,q; nas linhas em que antecedente é verdadeiro, a consequência é verdadeira; onde antecedente é falso, a implicação é verdadeira por definição). Portanto é tautologia.

Passo 13

Sentença 10
10) Frase (português): “O chão está molhado exatamente quando está chovendo ou o aspersor está ligado.”
Átomos: p = “está chovendo”, s = “o aspersor está ligado”, q = “o chão está molhado”.
Tradução: \;q \leftrightarrow (p \lor s).
Classificação e justificativa: esta é uma equivalência que relaciona q com p\lor s. A fórmula é satisfeita em valuations onde q coincide com p\lor s, e é falsa onde não coincide. Existem valuations que a tornam verdadeira (por exemplo p=\text{V}, s=\text{F}, q=\text{V}) e valuations que a tornam falsa (por exemplo p=\text{V}, s=\text{F}, q=\text{F}). Logo: satisfatível e não tautologia.

Resposta

  1. Está chovendo ou não está chovendo. — Tradução: p \lor \lnot p — Tautologia
  2. Está chovendo e não está chovendo. — Tradução: p \land \lnot p — Contradição
  3. Se está chovendo então o chão está molhado. — Tradução: p \rightarrow q — Satisfatível
  4. Se o chão está molhado então está chovendo. — Tradução: q \rightarrow p — Satisfatível
  5. Ou está chovendo ou está ensolarado, mas não os dois. — Tradução: (p \lor r) \land \lnot(p \land r) — Satisfatível
  6. Se está chovendo então está chovendo. — Tradução: p \rightarrow p — Tautologia
  7. Está chovendo se e somente se está ensolarado. — Tradução: p \leftrightarrow r — Satisfatível
  8. Não (se está chovendo então o chão está seco). — Tradução: \lnot(p \rightarrow \lnot q) (equivalente a p \land q) — Satisfatível
  9. Se [(se está chovendo então o chão fica molhado) e está chovendo] então o chão fica molhado. — Tradução: ((p \rightarrow q) \land p) \rightarrow q — Tautologia
  10. O chão está molhado se e somente se está chovendo ou o aspersor está ligado. — Tradução: q \leftrightarrow (p \lor s) — Satisfatível

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