Considere escoamento de água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu=0,001 Pa.s) em regime permanente em um canal retangular de grande largura. A velocidade imediatamente acima do fundo é 0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a 1,2 \mathrm{~m} acima do fundo a velocidade máxima do perfil é 0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O perfil de velocidade pode ser aproximado a uma parábola do tipo \mathrm{u}(\mathrm{y})=a \mathrm{y}^{2}+b \mathrm{y}+c, onde a, b e c são constantes. Determine:
(a) A velocidade média na seção
(b) Se o regime de escoamento é laminar ou turbulento

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu=0{,}001\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Perfil de velocidade aproximado por uma parábola \displaystyle u(y)=a y^{2}+b y+c, com a,b,c constantes.
    • Velocidade imediatamente acima do fundo (assumimos isso em y=0): u(0)=0{,}3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • Em y=1{,}2\\ \mathrm{m} acima do fundo ocorre a velocidade máxima do perfil e esse valor máximo é u(1{,}2)=0{,}6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) A velocidade média na seção (isto é, a velocidade média ao longo da profundidade até y=1{,}2\\ \mathrm{m}, assumindo que o perfil é válido em 0\le y\le 1{,}2).
    (b) Determinar se o escoamento é laminar ou turbulento (avaliando o número de Reynolds apropriado).
Observação: os três parâmetros a,b,c serão obtidos usando três condições: u(0)=0{,}3, u(1{,}2)=0{,}6 e o fato de que em y=1{,}2 há um máximo (logo \mathrm{d}u/\mathrm{d}y=0 em y=1{,}2).

Passo 2

Encontrar a, b e c a partir das condições dadas.
  1. Da condição em y=0:
u(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c=c=0{,}3.
Logo
c=0{,}3.
  1. A derivada do perfil é
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=2a y + b.
Como há máximo em y=1{,}2, vale
\left.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\right|_{y=1{,}2}=0 \quad\Rightarrow\quad 2a(1{,}2)+b=0.
Isso dá a relação
b=-2{,}4\,a.
  1. Uso u(1{,}2)=0{,}6:
u(1{,}2)=a(1{,}2)^{2}+b(1{,}2)+c = a\cdot 1{,}44 + 1{,}2\,b + 0{,}3 = 0{,}6.
Substituindo b=-2{,}4a:
1{,}44\,a + 1{,}2(-2{,}4a) + 0{,}3 = 0{,}6.
Calcule passo a passo:
1{,}44\,a - 2{,}88\,a + 0{,}3 = 0{,}6 \quad\Rightarrow\quad -1{,}44\,a = 0{,}3.
Assim
a = -\frac{0{,}3}{1{,}44} = -0{,}208\overline{3} = -\frac{5}{24}.
  1. Então
b = -2{,}4\,a = -2{,}4\left(-\frac{5}{24}\right)=\frac{1}{2}=0{,}5.
Resumo dos coeficientes:
a=-\frac{5}{24}\quad,\quad b=\frac{1}{2}\quad,\quad c=0{,}3.
Logo o perfil é
u(y)=-\frac{5}{24}\,y^{2}+\frac{1}{2}\,y+0{,}3.

Passo 3

Calcular a velocidade média na seção (média ao longo da profundidade 0\le y\le H com H=1{,}2\\ \mathrm{m}).
Definição da velocidade média sobre a profundidade:
\overline{u}=\frac{1}{H}\int_{0}^{H} u(y)\,\mathrm{d}y.
Aplicando u(y)=a y^{2}+b y+c:
\overline{u}=\frac{1}{H}\left[\frac{a H^{3}}{3}+\frac{b H^{2}}{2}+c H\right].
Agora substituímos H=1{,}2, a=-\dfrac{5}{24}, b=\dfrac{1}{2}, c=0{,}3.
Calculemos os termos:
  • H^{2}=(1{,}2)^{2}=1{,}44.
  • H^{3}=(1{,}2)^{3}=1{,}728.
Termo com a:
\frac{a H^{3}}{3} = \frac{-\tfrac{5}{24}\cdot 1{,}728}{3} = -0{,}12.
(Detalhe: -\tfrac{5}{24}\cdot 1{,}728 = -0{,}36 e dividido por 3 -0{,}12.)
Termo com b:
\frac{b H^{2}}{2} = \frac{\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}44}{2} = \frac{0{,}72}{2}=0{,}36.
Termo com c:
c H = 0{,}3\cdot 1{,}2 = 0{,}36.
Somando:
\frac{a H^{3}}{3}+\frac{b H^{2}}{2}+c H = -0{,}12 + 0{,}36 + 0{,}36 = 0{,}60.
Finalmente
\overline{u}=\frac{0{,}60}{1{,}2}=0{,}50\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Portanto a velocidade média na seção é \overline{u}=0{,}5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 4

Determinar se o escoamento é laminar ou turbulento — uso do número de Reynolds.
Definição do número de Reynolds para escoamento interno/canal:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,\overline{u}\,D_{h}}{\mu},
onde D_{h} é o diâmetro hidráulico definido por
D_{h}=\frac{4A}{P_{\text{molhado}}},
com A área molhada e P_{\text{molhado}} perímetro molhado.
Para um canal retangular de largura b e profundidade H temos A=bH e P_{\text{molhado}}=b+2H. Como o enunciado diz “grande largura” (isto é, b\gg H), podemos aproximar P_{\text{molhado}}\approx b e assim
D_{h}\approx\frac{4bH}{b}=4H.
(Isto é, para canal muito largo o diâmetro hidráulico tende a 4H.)
Adotando H=1{,}2\\ \mathrm{m}:
D_{h}\approx 4H = 4\cdot 1{,}2 = 4{,}8\\ \mathrm{m}.
Agora calculamos \mathrm{Re} com \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, \overline{u}=0{,}5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, \mu=0{,}001\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
\mathrm{Re}=\frac{1000\cdot 0{,}5\cdot 4{,}8}{0{,}001} = \frac{2400}{0{,}001}=2{,}4\times 10^{6}.
Observação de checagem: se alguém usasse H como escala característica (ou seja L=H), obtém-se
\mathrm{Re}_{H}=\frac{1000\cdot 0{,}5\cdot 1{,}2}{0{,}001}=6{,}0\times 10^{5},
que também é muito grande. Em qualquer escolha prática aqui o número de Reynolds é da ordem 10^{6}.
Interpretação: valores típicos de referência para transição laminar→turbulento em escoamentos internos (tubulações) são da ordem de \mathrm{Re}\sim 2000 4000; para escoamentos de superfície livre a transição também ocorre em números muito menores que 10^{6}. Como \mathrm{Re}\approx 2{,}4\times 10^{6} (ou mesmo 6{,}0\times 10^{5} se usar H), concluímos com segurança que o escoamento é turbulento.

Resposta

(a) \overline{u}=0{,}5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(b) Escoamento turbulento ( \mathrm{Re}\approx 2{,}4\times 10^{6}, usando D_{h}\approx 4H).

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