Considere escoamento de água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu=0,001 Pa.s) em regime permanente em um canal retangular de grande largura. A velocidade imediatamente acima do fundo é 0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a 1,2 \mathrm{~m} acima do fundo a velocidade máxima do perfil é 0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O perfil de velocidade pode ser aproximado a uma parábola do tipo \mathrm{u}(\mathrm{y})=a \mathrm{y}^{2}+b \mathrm{y}+c, onde a, b e c são constantes. Determine:
(a) A velocidade média na seção
(b) Se o regime de escoamento é laminar ou turbulento
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
Dados fornecidos:
Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Perfil de velocidade aproximado por uma parábola \displaystyle u(y)=a y^{2}+b y+c, com a,b,c constantes.
Velocidade imediatamente acima do fundo (assumimos isso em y=0): u(0)=0{,}3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Em y=1{,}2\\ \mathrm{m} acima do fundo ocorre a velocidade máxima do perfil e esse valor máximo é u(1{,}2)=0{,}6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
O que o enunciado pede:
(a) A velocidade média na seção (isto é, a velocidade média ao longo da profundidade até y=1{,}2\\ \mathrm{m}, assumindo que o perfil é válido em 0\le y\le 1{,}2).
(b) Determinar se o escoamento é laminar ou turbulento (avaliando o número de Reynolds apropriado).
Observação: os três parâmetros a,b,c serão obtidos usando três condições: u(0)=0{,}3, u(1{,}2)=0{,}6 e o fato de que em y=1{,}2 há um máximo (logo \mathrm{d}u/\mathrm{d}y=0 em y=1{,}2).
com A área molhada e P_{\text{molhado}} perímetro molhado.
Para um canal retangular de largura b e profundidade H temos A=bH e P_{\text{molhado}}=b+2H. Como o enunciado diz “grande largura” (isto é, b\gg H), podemos aproximar P_{\text{molhado}}\approx b e assim
D_{h}\approx\frac{4bH}{b}=4H.
(Isto é, para canal muito largo o diâmetro hidráulico tende a 4H.)
que também é muito grande. Em qualquer escolha prática aqui o número de Reynolds é da ordem 10^{6}.
Interpretação: valores típicos de referência para transição laminar→turbulento em escoamentos internos (tubulações) são da ordem de \mathrm{Re}\sim 2000–4000; para escoamentos de superfície livre a transição também ocorre em números muito menores que 10^{6}. Como \mathrm{Re}\approx 2{,}4\times 10^{6} (ou mesmo 6{,}0\times 10^{5} se usar H), concluímos com segurança que o escoamento é turbulento.