( 2 pontos) Uma bomba fornece 0,67 \mathrm{hp} para água a 25^{\circ} \mathrm{C} escoar por um tubo horizontal de ferro galvanizado de 90 mm de diâmetro à velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é o comprimento apropriado de tubo para satisfazer a essas condições?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Potência fornecida à água: P=0{,}67\\ \mathrm{hp} (esta é a potência entregue ao fluido).
  • Temperatura da água: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro interno do tubo: D=90\\ \mathrm{mm}=0{,}09\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média do escoamento: V=2\\ \mathrm{m/s}.
  • Tubo de ferro galvanizado (usar rugosidade típica para esse material).
O que se pede:
  • Comprimento do tubo L que corresponde a essas condições (isto é, o comprimento tal que a perda de carga total multiplicada pelo fluxo consome a potência dada).
Observações que vou usar (valores típicos para água a 25^\circ\mathrm{C} e para ferro galvanizado):
  • Densidade da água: \rho=997\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Viscosidade cinemática da água: \nu=0{,}8937\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Rugosidade absoluta típica para ferro galvanizado: \varepsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Conversão de potência: 1\\ \mathrm{hp}=745{,}7\\ \mathrm{W}.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica Q a partir da velocidade média e da área da seção do tubo.
Área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}09\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0{,}09)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}002025\approx0{,}006366\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica:
Q=A V=0{,}006366\cdot 2=0{,}012732\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Converter a potência dada para Watts e relacionar potência com perda de carga total (head loss).
Potência entregue à água:
P=0{,}67\\ \mathrm{hp}=0{,}67\cdot745{,}7\\ \mathrm{W}\approx499{,}6\\ \mathrm{W}.
A potência hidráulica entregue ao fluido é a energia por unidade tempo necessária para vencer a perda de carga h_f:
P=\rho g Q h_{f}.
Isolando h_{f}:
h_{f}=\frac{P}{\rho g Q}.
Substituindo os valores:
h_{f}=\frac{499{,}6}{997\cdot 9{,}81\cdot 0{,}012732}.
Calculemos o denominador primeiro: 997\cdot 9{,}81\cdot 0{,}012732\approx124{,}5.
Logo
h_{f}\approx\frac{499{,}6}{124{,}5}\approx4{,}01\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a bomba está fornecendo potência suficiente para produzir uma perda de carga total de cerca de 4{,}01\\ \mathrm{m} ao longo do comprimento do tubo.

Passo 4

Determinar o regime de escoamento (Reynolds) para escolher como obter o fator de atrito.
Reynolds:
Re=\frac{V D}{\nu}=\frac{2\cdot 0{,}09}{0{,}8937\times10^{-6}}.
Calculando:
Re\approx\frac{0{,}18}{0{,}8937\times10^{-6}}\approx201{,}4\times10^{3}\approx2{,}01\times10^{5}.
Como Re\approx2{,}0\times10^{5}, o escoamento é turbulento. Precisamos do fator de atrito f para tubulação rugosa.

Passo 5

Calcular o fator de atrito f. Uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa para cálculo direto em tubo rugoso turbulento):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Primeiro calcular \varepsilon/D:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}09}=1{,}6667\times10^{-3}.
Calcular Re^{0{,}9}: com Re\approx2{,}014\times10^{5} tem-se Re^{0{,}9}\approx5{,}96\times10^{4}.
Logo
\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{3{,}7\cdot0{,}09}\approx4{,}50\times10^{-4}, \qquad \dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{5{,}96\times10^{4}}\approx9{,}62\times10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx5{,}46\times10^{-4}.
Tomando logaritmo:
\log_{10}\!(5{,}46\times10^{-4})\approx-3{,}262,
portanto
f\approx\frac{0{,}25}{(-3{,}262)^{2}}=\frac{0{,}25}{10{,}64}\approx0{,}0235.
Comentário curto: esse valor de f é compatível com escoamento turbulento em tubo com rugosidade moderada; se a rugosidade real for diferente, f muda um pouco e o comprimento calculado também.

Passo 6

Relacionar a perda de carga total h_{f} com o comprimento L usando a equação de Darcy–Weisbach:
h_{f}=f\left(\frac{L}{D}\right)\frac{V^{2}}{2g}.
Isolando L:
L=\frac{h_{f}\,D\,2g}{f\,V^{2}}.
Substituir os valores numéricos:
  • h_{f}=4{,}01\\ \mathrm{m} (do Passo 3),
  • D=0{,}09\\ \mathrm{m},
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
  • f=0{,}0235,
  • V=2\\ \mathrm{m/s}.
Calcule 2g=19{,}62 e V^{2}=4. Então o numerador:
h_{f} D 2g = 4{,}01\cdot 0{,}09\cdot 19{,}62 \approx 7{,}082.
Denominador:
f V^{2}=0{,}0235\cdot 4=0{,}0940.
Portanto
L\approx\frac{7{,}082}{0{,}0940}\approx75{,}35\\ \mathrm{m}.
Breve comentário final dentro do passo: isto significa que, para as condições dadas e assumindo rugosidade típica \varepsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}, a perda de carga total de cerca de 4{,}01\\ \mathrm{m} ocorre ao longo de aproximadamente 75{,}3\\ \mathrm{m} de tubo. (Se a rugosidade real for menor ou maior, o comprimento correspondente muda.)

Resposta

L\approx75{,}3\\ \mathrm{m}

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