Considere o escoamento bidimensional descrito pela função potencial \varphi=-2 x y-\left(x^{2}-y^{2}\right) t / 2
a) Determine as componentes do campo de velocidade.
b) O escoamento é incompressível? Prove.
c) Obtenha a função corrente* correspondente mais simples.
  • Utilizar a definição de função corrente dada pelo livro-texto da disciplina.

Passo 1

O enunciado fornece a função potencial e pede três coisas. Dados e pedidos (tirei estes diretamente do enunciado):
  • Função potencial: \varphi=-2 x y-\dfrac{(x^{2}-y^{2})\,t}{2}.
  • As variáveis independentes são x, y e t.
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar as componentes do campo de velocidade.
(b) Verificar se o escoamento é incompressível e provar.
(c) Obter a função corrente correspondente mais simples (usando a definição usual de função corrente adotada no curso).

Passo 2

O que é pedido em (a): as componentes do campo de velocidade associadas à função potencial \varphi.
Conceito usado (curtinho e prático): a função potencial \varphi gera o campo de velocidade pelo gradiente. Em notação 2D,
u=\frac{\partial \varphi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \varphi}{\partial y},
onde u é a componente na direção x e v a componente na direção y.
Agora calculamos as derivadas parciais de \varphi. Primeiro escrevo \varphi de forma clara:
\varphi(x,y,t)=-2xy-\frac{t}{2}(x^{2}-y^{2}).
Calcule \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(-2xy\Big)+\frac{\partial}{\partial x}\Big(-\frac{t}{2}(x^{2}-y^{2})\Big).
A primeira parcela dá -2y. Na segunda, tratar t e y como constantes ao derivar em x: \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-\frac{t}{2}x^{2}\big) = -\frac{t}{2}\cdot 2x = -x t. Somando,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-2y - x t.
Portanto \displaystyle u=-2y - x t.
Calcule \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(-2xy\Big)+\frac{\partial}{\partial y}\Big(-\frac{t}{2}(x^{2}-y^{2})\Big).
A primeira parcela dá -2x. Na segunda, \dfrac{\partial}{\partial y}\big(+\frac{t}{2}y^{2}\big) = +y t (observe o sinal: -\frac{t}{2}(-y^{2})=+\frac{t}{2}y^{2}). Assim
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=-2x + y t.
Portanto \displaystyle v=-2x + y t.

Passo 3

Agora (b): verificar se o escoamento é incompressível.
Conceito usado: escoamento incompressível (densidade constante) em 2D significa que o divergente do campo de velocidade é zero. Em fórmulas:
\text{incompressível} \iff \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.í
Calculemos as derivadas parciais necessárias a partir dos u e v encontrados:
u(x,y,t)=-2y - x t,\qquad v(x,y,t)=-2x + y t.
Então
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2y - x t)=-t,
pois -2y é independente de x e a derivada de -x t em x é -t. E
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x + y t)=t.
Somando,
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=-t + t = 0.
Portanto a divergência é zero e o escoamento é incompressível. Isso prova (b).

Passo 4

Preparação para (c): o que é função corrente e qual convenção usar.
Definição (convenção usual adotada no curso): a função corrente \psi(x,y,t) é uma função que garante automaticamente a incompressibilidade quando as componentes são obtidas por
u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Essa escolha satisfaz
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y\partial x}=0.
Observação: há outras convenções de sinais, mas esta é a mais comum e é compatível com as relações de conjugação entre potencial e corrente em escoamento irrotacional. Vou usar esta definição para obter \psi.
Além disso, para um escoamento potencial e incompressível, \varphi e \psi obedecem às relações de Cauchy–Riemann (conjugadas):
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Essas são exatamente as equações que vamos usar para construir \psi a partir de \varphi.

Passo 5

Construção da função corrente \psi (resolução efetiva de (c)).
Usamos a primeira relação
\frac{\partial \psi}{\partial y}=u=-2y - x t.
Integramos em relação a y (tratando x e t como constantes nessa integração):
\psi(x,y,t)=\int\big(-2y - x t\big)\,dy = -y^{2} - x t\,y + G(x,t),
onde G(x,t) é uma “constante” de integração que pode depender de x e de t (mas não de y).
Agora usamos a segunda relação para determinar G:
-\frac{\partial \psi}{\partial x}=v=-2x + y t.
Isso implica
\frac{\partial \psi}{\partial x}=-v=2x - y t.
Compute \dfrac{\partial\psi}{\partial x} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(-y^{2} - x t\,y + G(x,t)\big)=-t y + \frac{\partial G}{\partial x}(x,t).
Igualando às exigências:
-t y + \frac{\partial G}{\partial x}(x,t)=2x - y t.
Os termos em y cancelam ( -t y em ambos os lados), restando
\frac{\partial G}{\partial x}(x,t)=2x.
Integramos em x:
G(x,t)=\int 2x\,dx = x^{2} + H(t),
onde H(t) é uma função arbitrária de t (constante de integração em relação a x). Note que adicionar H(t) não altera u ou v, pois as derivadas de H(t) em x ou y são zero.
Substituindo G em \psi obtemos a forma geral
\psi(x,y,t)= -y^{2} - x t\,y + x^{2} + H(t).
A função corrente “mais simples” é obtida escolhendo H(t)=0. Assim podemos escolher
\psi(x,y,t)=x^{2}-y^{2}-x y t.

Passo 6

Verificação rápida (para ter paz de espírito): calular \psi_{y} e -\psi_{x} e conferir que recuperamos u e v.
Calcule:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}-y^{2}-xyt\big)=-2y - x t = u,
e
-\frac{\partial \psi}{\partial x}=-\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}-y^{2}-xyt\big)=-(2x - y t)=-2x + y t = v.
Está confirmado: a \psi encontrada gera as mesmas componentes u e v.

Resposta

(a) u=-2y - x t,\quad v=-2x + y t
(b) Sim. \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=-t+t=0, portanto o escoamento é incompressível.
(c) \psi(x,y,t)=x^{2}-y^{2}-x y t

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