Considere o escoamento bidimensional descrito pela função potencial
a) Determine as componentes do campo de velocidade.
b) O escoamento é incompressível? Prove.
c) Obtenha a função corrente* correspondente mais simples.
- Utilizar a definição de função corrente dada pelo livro-texto da disciplina.
a) Determine as componentes do campo de velocidade.
b) O escoamento é incompressível? Prove.
c) Obtenha a função corrente* correspondente mais simples.
Passo 1
O enunciado fornece a função potencial e pede três coisas. Dados e pedidos (tirei estes diretamente do enunciado):
- Função potencial:
. - As variáveis independentes são
, e .
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar as componentes do campo de velocidade.
(b) Verificar se o escoamento é incompressível e provar.
(c) Obter a função corrente correspondente mais simples (usando a definição usual de função corrente adotada no curso).
(a) Determinar as componentes do campo de velocidade.
(b) Verificar se o escoamento é incompressível e provar.
(c) Obter a função corrente correspondente mais simples (usando a definição usual de função corrente adotada no curso).
Passo 2
O que é pedido em (a): as componentes do campo de velocidade associadas à função potencial
.
Conceito usado (curtinho e prático): a função potencial
gera o campo de velocidade pelo gradiente. Em notação 2D,
onde
é a componente na direção
e
a componente na direção
.
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Primeiro escrevo
de forma clara:
Calcule
:
A primeira parcela dá
. Na segunda, tratar
e
como constantes ao derivar em
:
. Somando,
Portanto
.
Calcule
:
A primeira parcela dá
. Na segunda,
(observe o sinal:
). Assim
Portanto
.
Passo 3
Agora (b): verificar se o escoamento é incompressível.
Conceito usado: escoamento incompressível (densidade constante) em 2D significa que o divergente do campo de velocidade é zero. Em fórmulas:
Calculemos as derivadas parciais necessárias a partir dos
e
encontrados:
Então
pois
é independente de
e a derivada de
em
é
. E
Somando,
Portanto a divergência é zero e o escoamento é incompressível. Isso prova (b).
Passo 4
Preparação para (c): o que é função corrente e qual convenção usar.
Definição (convenção usual adotada no curso): a função corrente
é uma função que garante automaticamente a incompressibilidade quando as componentes são obtidas por
Essa escolha satisfaz
Observação: há outras convenções de sinais, mas esta é a mais comum e é compatível com as relações de conjugação entre potencial e corrente em escoamento irrotacional. Vou usar esta definição para obter
.
Além disso, para um escoamento potencial e incompressível,
e
obedecem às relações de Cauchy–Riemann (conjugadas):
Essas são exatamente as equações que vamos usar para construir
a partir de
.
Passo 5
Construção da função corrente
(resolução efetiva de (c)).
Usamos a primeira relação
Integramos em relação a
(tratando
e
como constantes nessa integração):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e de
(mas não de
).
Agora usamos a segunda relação para determinar
:
Isso implica
Compute
a partir da expressão obtida:
Igualando às exigências:
Os termos em
cancelam (
em ambos os lados), restando
Integramos em
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
). Note que adicionar
não altera
ou
, pois as derivadas de
em
ou
são zero.
Substituindo
em
obtemos a forma geral
A função corrente “mais simples” é obtida escolhendo
. Assim podemos escolher
Passo 6
Verificação rápida (para ter paz de espírito): calular
e
e conferir que recuperamos
e
.
Calcule:
e
Está confirmado: a
encontrada gera as mesmas componentes
e
.
Resposta
(a)
(b) Sim.
, portanto o escoamento é incompressível.
(c)