Considere o escoamento de Poiseuille totalmente desenvolvido e bidimensional -o escoamento entre duas placas paralelas finitas separadas pela distância h, com as placas superior e inferior fixas, e um gradiente de pressão forçado dp / dx movendo o escoamento. ( dp/dx é constante e negativo.) O escoamento é incompressível, em regime permanente e bidimensional no plano xy. As componentes da velocidade são dadas por:
u=12 mu d pd x(y^2-h y) v=0 w=0
onde mu. é a viscosidade do fluido. Esse escoamento é rotacional ou irrotacional? Se ele for rotacional, calcule a componente da vorticidade na direção z. As partículas de fluido desse escoamento giram no sentido horário ou anti-horário?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um escoamento de Poiseuille entre duas placas paralelas separadas por uma distância u(y)=12mu,dpdx,l(y^2 - hyr), v=0, w=0 . As placas estão paradas e impõem uma velocidade nula na fronteira (“no-slip”). Há um gradiente de pressão constante (negativo) que empurra o fluido. É incompressível, estacionário e 2D, e a única componente de velocidade não nula é
O que precisamos estudar:
  1. Saber se esse escoamento é rotacional ou não (irrotacional).
  2. Se for rotacional, calcular a componente da vorticidade na direção .
  3. Dizer em que sentido as partículas giram.
    Para isso vamos usar o conceito de vorticidade, que é o “rotacional” do vetor velocidade: .

Passo 2

Teoria na mão:
  1. Vorticidade em 2D: .
  2. Escoamento irrotacional se toda a vorticidade for zero; é rotacional se .
  3. O sinal de diz o sentido de giro:
    • → giro anti-horário.
    • → giro horário.

Passo 3

Vamos calcular omegaz ;=; -,partial upartial y . Como partial upartial y =partialpartial yl[12mudpdx,(y^2 - hy)r] =12mu,dpdx,(2y - h) =dp/dxmu,l(y - h2r) , omegaz =-,dp/dxmu,l(y - tfrach2r) , então
Derivando :
Logo
Repare que , então .

Passo 4

  1. Como boxedomegaz = -,1mu,dpdx,l(y - tfrach2r) ou omegaz = |dp/dx|mu,l(y - tfrach2r) (depende de ), o escoamento é rotacional.
  2. A expressão final pode ser escrita de duas formas equivalentes:
  3. Quanto ao sentido de giro:
    • Para , , , giro horário.
    • Para , , , giro anti-horário.

Resposta

O escoamento é rotacional, com componente de vorticidade
omegaz = -,1mu,dpdx,l(y - tfrach2r),
e as partículas giram no sentido horário para e no sentido anti-horário para .

Exercícios relacionados