Considere o escoamento de Poiseuille totalmente desenvolvido e bidimensional -o escoamento entre duas placas paralelas finitas separadas pela distância
, com as placas superior e inferior fixas, e um gradiente de pressão forçado
movendo o escoamento. (
é constante e negativo.) O escoamento é incompressível, em regime permanente e bidimensional no plano xy. As componentes da velocidade são dadas por:
onde
. é a viscosidade do fluido. Esse escoamento é rotacional ou irrotacional? Se ele for rotacional, calcule a componente da vorticidade na direção z. As partículas de fluido desse escoamento giram no sentido horário ou anti-horário?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um escoamento de Poiseuille entre duas placas paralelas separadas por uma distância
. As placas estão paradas e impõem uma velocidade nula na fronteira (“no-slip”). Há um gradiente de pressão constante
(negativo) que empurra o fluido. É incompressível, estacionário e 2D, e a única componente de velocidade não nula é
O que precisamos estudar:
- Saber se esse escoamento é rotacional ou não (irrotacional).
- Se for rotacional, calcular a componente da vorticidade na direção
. - Dizer em que sentido as partículas giram.
Para isso vamos usar o conceito de vorticidade, que é o “rotacional” do vetor velocidade:.
Passo 2
Teoria na mão:
- Vorticidade em 2D:
. - Escoamento irrotacional se toda a vorticidade for zero; é rotacional se
. - O sinal de
diz o sentido de giro: -
→ giro anti-horário. -
→ giro horário.
-
Passo 3
Vamos calcular
. Como
,
, então
Derivando
:
Logo
Repare que
, então
.
Passo 4
- Como
(depende de ), o escoamento é rotacional. - A expressão final pode ser escrita de duas formas equivalentes:
- Quanto ao sentido de giro:
- Para
, , , → giro horário. - Para
, , , → giro anti-horário.
- Para
Resposta
O escoamento é rotacional, com componente de vorticidade
e as partículas giram no sentido horário para
e no sentido anti-horário para
.