Considere um escoamento unidimensional de gás (
) em um tubo. Deseja-se que a velocidade aumente de
para
. Dados:
bar,
,
bar,
. Determine a razão de áreas
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
-
Dados fornecidos:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
O que se pede:
- Determinar a razão de áreas
.
- Determinar a razão de áreas
-
Observações iniciais (apenas o que está no enunciado):
- Trata-se de um escoamento unidimensional e queremos relacionar áreas a partir dos dados de velocidade, pressão e temperatura.
- Não há informação explícita sobre composição do gás além de ser mistura
. Se for preciso, a solução deve apontar se essa composição entra no resultado.
Passo 2
Princípio físico que usamos: conservação de massa para escoamento estacionário unidimensional. Vou escrever a equação e explicar cada termo.
A conservação de massa (equação da continuidade) para fluxo estacionário e unidimensional é:
Explicando:
-
é a vazão mássica (kg/s), constante se não houver acoplamento de massa; -
é a densidade do fluido (kg/m^3); -
é a área da seção transversal (m^2); -
é a velocidade média axial (m/s).
Como
é igual em 1 e 2, tem-se:
A partir daí isolamos a razão de áreas:
Passo 3
Agora precisamos relacionar as densidades
e
com as grandezas dadas (
e
). Para isso usamos a equação do gás ideal (pressuposto que adotamos) e explico por que é razoável aqui.
A equação do gás ideal é:
onde:
-
é a pressão (Pa), -
é a densidade (kg/m^3), -
é a constante específica do gás (J/(kg·K)), -
é a temperatura absoluta (K).
Dessa relação obtemos:
Observação didática:
depende da composição do gás. Porém, ao calcular a razão
, se a composição não variar entre as seções 1 e 2, o
cancela. Neste problema nada indica mudança de composição ao longo do tubo, então podemos usar esse cancelamento.
Passo 4
Substituímos
e
na expressão da razão de áreas para obter uma fórmula diretamente em termos de
,
e
.
Começando por escrever a razão das densidades:
Agora substituímos em
e obtemos a expressão prática:
Aqui expliquei cada passo: usamos gás ideal para expressar
, notei que
cancela (portanto a composição do gás não é necessária, contanto que ela seja a mesma nas duas seções), e relatei pressão, temperatura e velocidade à razão de áreas.
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente. Primeiro simplifico alguns fatores conhecidos: razão de pressões, razão de temperaturas, razão de velocidades.
Dados numéricos (relembre que unidades de pressão em mesma unidade cancelam; uso bars para p mas elas se cancelam):
Agora aplico a fórmula
Passo 6
Calculo final substituindo os valores:
Faço a multiplicação passo a passo:
Portanto:
Passo 7
Interpretação, checagens e suposições (importante para prova e para saber quando essa solução vale):
- Resultado: a área cresce:
é vezes , ou seja, aumento de 50%. - Por que
não apareceu no resultado? Porque a composição do gás foi assumida constante entre 1 e 2, então cancela na razão . - Pressupostos feitos:
- Escoamento estacionário, unidimensional e sem fontes/perdas de massa.
- Gás ideal localmente aplicável nas duas seções.
- Não consideramos efeitos de variação de energia interna além do que já está refletido nas temperaturas dadas (não usamos conservação de energia; apenas massa).
- Observação prática: se a composição mudasse ou se
fosse diferente entre as seções, seria necessário conhecer e . Se as temperaturas/pressões fossem tais que o gás deixasse de comportar-se como ideal, a abordagem mudaria. - Um exercício rápido para fixar: se
e , então a expressão reduz para — faz sentido: com mesma densidade, a razão de áreas é inversamente proporcional à razão de velocidades.