Considere um escoamento unidimensional de gás ( \mathrm{LOX} / \mathrm{LH}_{2} ) em um tubo. Deseja-se que a velocidade aumente de v_{1}=100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para v_{2}=1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Dados: p_{1}=30 bar, T_{1}=3000 \mathrm{~K}, p_{2}=1 bar, T_{2}=1500 \mathrm{~K}. Determine a razão de áreas \frac{A_{2}}{A_{1}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • v_{1}=100\\ \mathrm{m/s}.
    • v_{2}=1000\\ \mathrm{m/s}.
    • p_{1}=30\\ \text{bar}.
    • p_{2}=1\\ \text{bar}.
    • T_{1}=3000\\ \text{K}.
    • T_{2}=1500\\ \text{K}.
  • O que se pede:
    • Determinar a razão de áreas \dfrac{A_{2}}{A_{1}}.
  • Observações iniciais (apenas o que está no enunciado):
    • Trata-se de um escoamento unidimensional e queremos relacionar áreas a partir dos dados de velocidade, pressão e temperatura.
    • Não há informação explícita sobre composição do gás além de ser mistura \mathrm{LOX}/\mathrm{LH}_2. Se for preciso, a solução deve apontar se essa composição entra no resultado.

Passo 2

Princípio físico que usamos: conservação de massa para escoamento estacionário unidimensional. Vou escrever a equação e explicar cada termo.
A conservação de massa (equação da continuidade) para fluxo estacionário e unidimensional é:
\dot{m}=\rho A v \quad\text{(constante ao longo do tubo)}
Explicando:
  • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s), constante se não houver acoplamento de massa;
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m^3);
  • A é a área da seção transversal (m^2);
  • v é a velocidade média axial (m/s).
Como \dot{m} é igual em 1 e 2, tem-se:
\rho_{1} A_{1} v_{1}=\rho_{2} A_{2} v_{2}.
A partir daí isolamos a razão de áreas:
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{\rho_{1} v_{1}}{\rho_{2} v_{2}}.

Passo 3

Agora precisamos relacionar as densidades \rho_{1} e \rho_{2} com as grandezas dadas ( p e T). Para isso usamos a equação do gás ideal (pressuposto que adotamos) e explico por que é razoável aqui.
A equação do gás ideal é:
p=\rho R T,
onde:
  • p é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade (kg/m^3),
  • R é a constante específica do gás (J/(kg·K)),
  • T é a temperatura absoluta (K).
Dessa relação obtemos:
\rho=\frac{p}{R T}.
Observação didática: R depende da composição do gás. Porém, ao calcular a razão \dfrac{\rho_{1}}{\rho_{2}}, se a composição não variar entre as seções 1 e 2, o R cancela. Neste problema nada indica mudança de composição ao longo do tubo, então podemos usar esse cancelamento.

Passo 4

Substituímos \rho_{1} e \rho_{2} na expressão da razão de áreas para obter uma fórmula diretamente em termos de p, T e v.
Começando por escrever a razão das densidades:
\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=\frac{p_{1}/(R T_{1})}{p_{2}/(R T_{2})}=\frac{p_{1} T_{2}}{p_{2} T_{1}}.
Agora substituímos em
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{\rho_{1} v_{1}}{\rho_{2} v_{2}}
e obtemos a expressão prática:
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{p_{1} T_{2} v_{1}}{p_{2} T_{1} v_{2}}.
Aqui expliquei cada passo: usamos gás ideal para expressar \rho, notei que R cancela (portanto a composição do gás não é necessária, contanto que ela seja a mesma nas duas seções), e relatei pressão, temperatura e velocidade à razão de áreas.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente. Primeiro simplifico alguns fatores conhecidos: razão de pressões, razão de temperaturas, razão de velocidades.
Dados numéricos (relembre que unidades de pressão em mesma unidade cancelam; uso bars para p mas elas se cancelam):
  • \dfrac{p_{1}}{p_{2}}=\dfrac{30\\ \text{bar}}{1\\ \text{bar}}=30.
  • \dfrac{T_{2}}{T_{1}}=\dfrac{1500\\ \text{K}}{3000\\ \text{K}}=0,5.
  • \dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{100\\ \mathrm{m/s}}{1000\\ \mathrm{m/s}}=0,1.
Agora aplico a fórmula
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}\cdot\frac{T_{2}}{T_{1}}\cdot\frac{v_{1}}{v_{2}}.

Passo 6

Calculo final substituindo os valores:
\frac{A_{2}}{A_{1}}=30\times 0,5\times 0,1.
Faço a multiplicação passo a passo:
  • 30\times 0,5=15.
  • 15\times 0,1=1,5.
Portanto:
\frac{A_{2}}{A_{1}}=1,5.

Passo 7

Interpretação, checagens e suposições (importante para prova e para saber quando essa solução vale):
  • Resultado: a área cresce: A_{2} é 1,5 vezes A_{1}, ou seja, aumento de 50%.
  • Por que R não apareceu no resultado? Porque a composição do gás foi assumida constante entre 1 e 2, então R cancela na razão \rho_{1}/\rho_{2}.
  • Pressupostos feitos:
    • Escoamento estacionário, unidimensional e sem fontes/perdas de massa.
    • Gás ideal localmente aplicável nas duas seções.
    • Não consideramos efeitos de variação de energia interna além do que já está refletido nas temperaturas dadas (não usamos conservação de energia; apenas massa).
  • Observação prática: se a composição mudasse ou se R fosse diferente entre as seções, seria necessário conhecer R_{1} e R_{2}. Se as temperaturas/pressões fossem tais que o gás deixasse de comportar-se como ideal, a abordagem mudaria.
  • Um exercício rápido para fixar: se p_{1}=p_{2} e T_{1}=T_{2}, então a expressão reduz para \dfrac{A_{2}}{A_{1}}=\dfrac{v_{1}}{v_{2}} — faz sentido: com mesma densidade, a razão de áreas é inversamente proporcional à razão de velocidades.

Resposta

\dfrac{A_{2}}{A_{1}}=1,5

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