Considere um escoamento em um bocal de foguete ( \mathrm{LOX} / \mathrm{LH}_{2} ) com áreas A_{1} e A_{2}=0.5 \mathrm{~m}^{2}. Na entrada: p_{1}=50 bar, T_{1}=2800 \mathrm{~K}. Na saída: p_{2}=0.5 \mathrm{bar}, T_{2}=1200 \mathrm{~K}. Se v_{1}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e v_{2}=2000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine A_{1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • A_{2}=0,5\\ \mathrm{m}^{2}.
    • p_{1}=50\\ \mathrm{bar}.
    • T_{1}=2800\\ \mathrm{K}.
    • p_{2}=0,5\\ \mathrm{bar}.
    • T_{2}=1200\\ \mathrm{K}.
    • v_{1}=20\\ \mathrm{m/s}.
    • v_{2}=2000\\ \mathrm{m/s}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar A_{1}.

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento estacionário: a vazão mássica é a mesma em duas seções quaisquer do bocal. Escreve-se
\dot{m}=\rho A v,
onde \dot{m} é a vazão mássica (constante), \rho é a densidade local do fluido, A é a área da seção e v é a velocidade local. Para os pontos 1 e 2 isso dá
\rho_{1}A_{1}v_{1}=\rho_{2}A_{2}v_{2}.
Aqui:
  • \rho_{1} e \rho_{2} são as densidades nas seções 1 e 2;
  • A_{1} é a incógnita que queremos;
  • A_{2},v_{1},v_{2} são dados.

Passo 3

Usamos a equação dos gases perfeitos para relacionar pressão, densidade e temperatura:
p=\rho R T,
onde R é a constante específica do gás (assumir o mesmo gás/mesma mistura nos dois pontos, portanto o mesmo R). Assim
\rho=\frac{p}{R T}.
Substituindo \rho_{1} e \rho_{2} na equação da continuidade:
\frac{p_{1}}{R T_{1}}A_{1}v_{1}=\frac{p_{2}}{R T_{2}}A_{2}v_{2}.
Como R é o mesmo nos dois lados, ele se cancela.

Passo 4

Isolando A_{1} obtemos a fórmula prática que vamos usar:
A_{1}=A_{2}\,\frac{p_{2}v_{2}T_{1}}{p_{1}v_{1}T_{2}}.
Esta expressão resulta diretamente de substituir \rho=p/(RT) na continuidade e simplificar. Note que não precisamos conhecer R porque ele cancela — ótima notícia para fazer contas rápido na prova.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos (atenção às unidades; como usamos razões de pressão, não é necessário converter bar para Pa, pois a razão é adimensional):
  • Primeiro calcule a razão de pressões:
\frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{0,5}{50}=0,01.
  • Calcule o numerador p_{2}v_{2}T_{1} na forma conveniente usando a razão:
p_{2}v_{2}T_{1}=p_{1}\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)v_{2}T_{1}
mas para a conta direta usamos \dfrac{p_{2}}{p_{1}}\cdot v_{2}\cdot T_{1}:
0,01\cdot 2000\cdot 2800=56\,000.
  • Calcule o denominador v_{1}T_{2}:
v_{1}T_{2}=20\cdot 1200=24\,000.
  • Então a razão inteira vale
\frac{p_{2}v_{2}T_{1}}{p_{1}v_{1}T_{2}}=\frac{56\,000}{24\,000}=\frac{56}{24}=\frac{7}{3}\approx 2,3333\ldots
  • Finalmente:
A_{1}=A_{2}\cdot\frac{7}{3}=0,5\cdot\frac{7}{3}=\frac{7}{6}\\ \mathrm{m}^{2}\approx 1,1667\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Pequena checagem de ordem de grandeza: como a pressão cai muito (fator 100) mas a velocidade aumenta muito (fator 100), as temperaturas também mudam; o resultado A_{1} um pouco maior que A_{2} faz sentido num contexto onde a densidade na saída é muito menor — a conta acima é consistente matematicamente. Vai dar certo na prova: aplique a continuidade + equação dos gases perfeitos e pronto!

Resposta

\displaystyle A_{1}= \frac{7}{6}\\ \mathrm{m}^{2}\approx 1,1667\\ \mathrm{m}^{2}

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