Considere o escoamento de um gás (
) em um bocal convergente-divergente. com
e
. Dados:
bar,
bar,
. Determine a razão
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a razão
das velocidades em dois pontos de um bocal convergente-divergente.
Informações dadas:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Observação: pressões estão em mesmas unidades (bar), e temperaturas em Kelvin. Não foi dada outra informação (como composição variando entre pontos), então assumiremos que o fluido tem a mesma constante específica nos dois pontos.
Passo 2
Conservação de massa (continuidade) para escoamento compressível e estacionário diz que a vazão mássica é constante ao longo do bocal:
onde
é a densidade,
a área da seção e
a velocidade local. Explicando:
é a massa que atravessa a seção por unidade de tempo; se o escoamento é estacionário e não há entrada/saída de massa entre as seções, isso é igual nos dois pontos.
Passo 3
Isolando a razão de velocidades a partir da equação de continuidade:
Aqui cada símbolo significa:
-
, : densidades em 1 e 2; -
, : áreas conhecidas; -
, : velocidades (queremos a razão).
Passo 4
Relacionando densidade com pressão e temperatura pelo gás ideal. A equação dos gases ideais escreve-se, em forma útil para densidade:
onde
é a pressão absoluta,
a temperatura absoluta e
a constante específica do gás (
). Explicando: para a mesma mistura (mesmo
) a densidade é proporcional à pressão e inversamente proporcional à temperatura.
Passo 5
Usando a expressão da densidade em ambos os pontos (e lembrando que
cancela por ser o mesmo fluido nos dois pontos), obtemos:
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a fórmula prática:
Isto significa: razão de velocidades = razão de áreas multiplicada pela razão das pressões vezes a razão inversa das temperaturas (com a temperatura do ponto 2 aparecendo no numerador).
Passo 7
Agora substituímos os números fornecidos. Primeiro razão de áreas:
Razão de pressões:
Razão de temperaturas (invertida conforme a fórmula):
Multiplicando tudo:
Passo 8
Interpretação numérica e unidades:
. A razão é adimensional. Observação sobre hipóteses: este resultado usa as hipóteses de escoamento estacionário, mesma composição (mesmo
) e comportamento de gás ideal. Se houver efeitos de compressibilidade não modelados (por exemplo escoamento choked, perdas, variação de
com temperatura e dissociação química em temperaturas muito altas), seria necessário um tratamento mais completo; mas com os dados fornecidos esta é a forma correta e direta.