Considere o escoamento de um gás ( \mathrm{LOX} / \mathrm{LH}_{2} ) em um bocal convergente-divergente. com A_{1}=1 \mathrm{~m}^{2} e A_{2}=2 \mathrm{~m}^{2}. Dados: p_{1}=40 bar, T_{1}=3000 \mathrm{~K}, p_{2}=2 bar, T_{2}=2000 \mathrm{~K}. Determine a razão v_{2} / v_{1}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a razão \dfrac{v_{2}}{v_{1}} das velocidades em dois pontos de um bocal convergente-divergente.
Informações dadas:
  • A_{1}=1\\ \mathrm{m}^{2}.
  • A_{2}=2\\ \mathrm{m}^{2}.
  • p_{1}=40\\ \text{bar}.
  • T_{1}=3000\\ \text{K}.
  • p_{2}=2\\ \text{bar}.
  • T_{2}=2000\\ \text{K}.
Observação: pressões estão em mesmas unidades (bar), e temperaturas em Kelvin. Não foi dada outra informação (como composição variando entre pontos), então assumiremos que o fluido tem a mesma constante específica nos dois pontos.

Passo 2

Conservação de massa (continuidade) para escoamento compressível e estacionário diz que a vazão mássica é constante ao longo do bocal:
\rho_{1} A_{1} v_{1}=\rho_{2} A_{2} v_{2},
onde \rho é a densidade, A a área da seção e v a velocidade local. Explicando: \rho A v é a massa que atravessa a seção por unidade de tempo; se o escoamento é estacionário e não há entrada/saída de massa entre as seções, isso é igual nos dois pontos.

Passo 3

Isolando a razão de velocidades a partir da equação de continuidade:
\frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{\rho_{1} A_{1}}{\rho_{2} A_{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \rho_{1}, \rho_{2}: densidades em 1 e 2;
  • A_{1}, A_{2}: áreas conhecidas;
  • v_{1}, v_{2}: velocidades (queremos a razão).

Passo 4

Relacionando densidade com pressão e temperatura pelo gás ideal. A equação dos gases ideais escreve-se, em forma útil para densidade:
\rho=\frac{p}{R\,T},
onde p é a pressão absoluta, T a temperatura absoluta e R a constante específica do gás ( R=R_u/M). Explicando: para a mesma mistura (mesmo R) a densidade é proporcional à pressão e inversamente proporcional à temperatura.

Passo 5

Usando a expressão da densidade em ambos os pontos (e lembrando que R cancela por ser o mesmo fluido nos dois pontos), obtemos:
\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=\frac{p_{1}/(R T_{1})}{p_{2}/(R T_{2})}=\frac{p_{1} T_{2}}{p_{2} T_{1}}.

Passo 6

Substituindo \dfrac{\rho_{1}}{\rho_{2}} em \dfrac{v_{2}}{v_{1}} obtemos a fórmula prática:
\frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{A_{1}}{A_{2}}\cdot\frac{p_{1} T_{2}}{p_{2} T_{1}}.
Isto significa: razão de velocidades = razão de áreas multiplicada pela razão das pressões vezes a razão inversa das temperaturas (com a temperatura do ponto 2 aparecendo no numerador).

Passo 7

Agora substituímos os números fornecidos. Primeiro razão de áreas:
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Razão de pressões:
\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{40}{2}=20.
Razão de temperaturas (invertida conforme a fórmula):
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{2000}{3000}=\frac{2}{3}.
Multiplicando tudo:
\frac{v_{2}}{v_{1}}=\tfrac{1}{2}\times 20\times \tfrac{2}{3}=\tfrac{20}{3}.

Passo 8

Interpretação numérica e unidades: \dfrac{20}{3}\approx 6{,}666\ldots. A razão é adimensional. Observação sobre hipóteses: este resultado usa as hipóteses de escoamento estacionário, mesma composição (mesmo R) e comportamento de gás ideal. Se houver efeitos de compressibilidade não modelados (por exemplo escoamento choked, perdas, variação de R com temperatura e dissociação química em temperaturas muito altas), seria necessário um tratamento mais completo; mas com os dados fornecidos esta é a forma correta e direta.

Resposta

\dfrac{v_{2}}{v_{1}}=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67

Exercícios relacionados