Considere uma esfera de centro 0 e raio r. Sabe-se que um plano π distando 3 cm do centro 0 secciona a esfera segundo uma circunferência de raio 4 cm. Determine o valor, em cm, do raio da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com centro no ponto 0 e raio desconhecido r. Um plano π está a 3 cm de distância desse centro e corta a esfera formando uma circunferência de raio 4 cm. Nosso objetivo é encontrar o raio r da esfera. Vamos usar geometria espacial e o Teorema de Pitágoras para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, imagine a esfera e o plano π que a corta. Quando um plano corta uma esfera, a interseção é sempre um círculo. Aqui, esse círculo tem raio de 4 cm. A distância do centro da esfera até o plano é de 3 cm.
Passo 3
Vamos visualizar isso como um triângulo retângulo. O raio da esfera r é a hipotenusa desse triângulo. Um cateto é a distância do centro até o plano, que é 3 cm, e o outro cateto é o raio da circunferência formada, que é 4 cm.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema de Pitágoras, que diz que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Então:
Passo 5
Calculando os quadrados:
Passo 6
Para encontrar r, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
O raio da esfera é 5 cm.