Considere uma esfera de centro 0 e raio r. Sabe-se que um plano π distando 3 cm do centro 0 secciona a esfera segundo uma circunferência de raio 4 cm. Determine o valor, em cm, do raio da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com centro no ponto 0 e raio desconhecido r. Um plano π está a 3 cm de distância desse centro e corta a esfera formando uma circunferência de raio 4 cm. Nosso objetivo é encontrar o raio r da esfera. Vamos usar geometria espacial e o Teorema de Pitágoras para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, imagine a esfera e o plano π que a corta. Quando um plano corta uma esfera, a interseção é sempre um círculo. Aqui, esse círculo tem raio de 4 cm. A distância do centro da esfera até o plano é de 3 cm.

Passo 3

Vamos visualizar isso como um triângulo retângulo. O raio da esfera r é a hipotenusa desse triângulo. Um cateto é a distância do centro até o plano, que é 3 cm, e o outro cateto é o raio da circunferência formada, que é 4 cm.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Pitágoras, que diz que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Então:
r^2 = 3^2 + 4^2

Passo 5

Calculando os quadrados:
r^2 = 9 + 16
r^2 = 25

Passo 6

Para encontrar r, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
r = raiz25
r = 5

Resposta

O raio da esfera é 5 cm.

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