A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x²+y²-2x-4y=20. Então a equação de s é:
a)x-2y=-6
b)x+2y=6
c)x+y=3
d)y-x=3
e)2x+y=6
a)x-2y=-6
b)x+2y=6
c)x+y=3
d)y-x=3
e)2x+y=6
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação da reta s que passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB, onde A é o ponto (0,0) e B é o centro da circunferência dada por $ x^2 + y^2 - 2x - 4y = 20 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como encontrar o centro de uma circunferência, determinar a inclinação de uma reta e utilizar a condição de perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da circunferência dada pela equação $ x^2 + y^2 - 2x - 4y = 20 $. Sabemos que a equação geral de uma circunferência é $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $, onde $ (h,k) $ é o centro e $ r $ é o raio.
Para colocar a equação na forma padrão, completamos o quadrado:
Completando o quadrado para $ x $:
E para $ y $:
Substituindo de volta na equação:
Então, o centro B da circunferência é $ (1, 2) $.
Passo 3
Agora, temos dois pontos: A(0,0) e B(1,2). Vamos encontrar a inclinação da reta AB. A inclinação $ m $ de uma reta que passa por dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada por:
Aplicando os valores:
Passo 4
Como a reta s é perpendicular à reta AB, a inclinação da reta s $ m_s $ é o negativo do inverso da inclinação de AB. Ou seja:
Passo 5
Sabemos que a reta s passa pelo ponto (0,3) e tem inclinação $ -\frac{1}{2} $. Podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta s é:
Para facilitar a comparação com as alternativas, vamos reorganizar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resposta
A equação da reta s é $ x + 2y = 6 $. Portanto, a alternativa correta é a letra b).