Considere uma esfera condutora de raio R , carregada com carga Q. Qual é a energia U armazenada na região onde há campo elétrico? Qual é a densidade u de energia na superfície da esfera? Calcule a energia U por integração de u. Qual o raio R0, tal que a energia contida neste espaço, seja metade da energia contida até o infinito.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma esfera condutora com raio $ R $ carregada com uma carga total $ Q $. Precisamos encontrar:
  1. A energia $ U $ armazenada na região onde há campo elétrico.
  2. A densidade de energia $ u $ na superfície da esfera.
  3. Calcular a energia $ U $ integrando $ u $.
  4. Encontrar o raio $ R_{0} $ tal que a energia até esse raio seja metade da energia total armazenada até o infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos e energia armazenada no campo. Vamos precisar lembrar das fórmulas para o campo elétrico de uma esfera condutora e para a densidade de energia no campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo elétrico ao redor de uma esfera condutora carregada. Para uma esfera com carga $ Q $ e raio $ R $, o campo elétrico fora da esfera (para $ r \geq R $) é dado por:
Q
Aqui, $ \varepsilon_{0} $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade de energia $ u $ no campo elétrico. A densidade de energia no campo elétrico é dada por:
u
Substituindo o campo elétrico que acabamos de encontrar:
u = 12 varepsilon0 E^2
Simplificando:
u(r) = 12 varepsilon0 ( 14pivarepsilon0 cdot Qr^2 )^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia $ U $ armazenada na região onde há campo elétrico, ou seja, para $ r \geq R $. A energia total é a integral da densidade de energia $ u® $ sobre todo o espaço onde o campo existe:
U
Substituindo $ u® $:
r >= R
Integrando:
u(r)
Portanto:
U = integralR^infty u(r) cdot 4pi r^2 dr

Passo 5

Agora, queremos encontrar o raio $ R_{0} $ tal que a energia contida até esse raio seja metade da energia total $ U $. Vamos chamar essa energia de $ U_{0} $:
R0
A energia até $ R_{0} $ é dada por:
U
Substituindo $ u® $:
U0
Simplificando:
U0 = 12 U = Q^216 pi varepsilon0 R
Multiplicando ambos os lados por $ 16 R $:
R0
Distribuindo:
U0 = integralR^R0 u(r) cdot 4pi r^2 dr
Isolando $ \frac{2R}{R_{0}} $:
u(r)
Portanto:
Q^216 pi varepsilon0 R = Q^28 pi varepsilon0 integralR^R0 1r^2 dr

Resposta

A energia armazenada na região onde há campo elétrico é $ U = \frac{Q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R} $. A densidade de energia na superfície da esfera é $ u = \frac{Q^{2}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0} R^{4}} $. Após calcular por integração, a energia total $ U $ confirma $ U = \frac{Q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R} $. O raio $ R_{0} $ tal que a energia até esse ponto seja metade da total é $ R_{0} = 2R $.

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