Considere uma esfera condutora de raio R , carregada com carga Q. Qual é a energia U armazenada na região onde há campo elétrico? Qual é a densidade u de energia na superfície da esfera? Calcule a energia U por integração de u. Qual o raio
, tal que a energia contida neste espaço, seja metade da energia contida até o infinito.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma esfera condutora com raio $ R $ carregada com uma carga total $ Q $. Precisamos encontrar:
- A energia $ U $ armazenada na região onde há campo elétrico.
- A densidade de energia $ u $ na superfície da esfera.
- Calcular a energia $ U $ integrando $ u $.
- Encontrar o raio $ R_{0} $ tal que a energia até esse raio seja metade da energia total armazenada até o infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos e energia armazenada no campo. Vamos precisar lembrar das fórmulas para o campo elétrico de uma esfera condutora e para a densidade de energia no campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo elétrico ao redor de uma esfera condutora carregada. Para uma esfera com carga $ Q $ e raio $ R $, o campo elétrico fora da esfera (para $ r \geq R $) é dado por:
Aqui, $ \varepsilon_{0} $ é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a densidade de energia $ u $ no campo elétrico. A densidade de energia no campo elétrico é dada por:
Substituindo o campo elétrico que acabamos de encontrar:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia $ U $ armazenada na região onde há campo elétrico, ou seja, para $ r \geq R $. A energia total é a integral da densidade de energia $ u® $ sobre todo o espaço onde o campo existe:
Substituindo $ u® $:
Integrando:
Portanto:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o raio $ R_{0} $ tal que a energia contida até esse raio seja metade da energia total $ U $. Vamos chamar essa energia de $ U_{0} $:
A energia até $ R_{0} $ é dada por:
Substituindo $ u® $:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por $ 16 R $:
Distribuindo:
Isolando $ \frac{2R}{R_{0}} $:
Portanto:
Resposta
A energia armazenada na região onde há campo elétrico é $ U = \frac{Q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R} $. A densidade de energia na superfície da esfera é $ u = \frac{Q^{2}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0} R^{4}} $. Após calcular por integração, a energia total $ U $ confirma $ U = \frac{Q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} R} $. O raio $ R_{0} $ tal que a energia até esse ponto seja metade da total é $ R_{0} = 2R $.