Um asteroide, cuja massa é
vezes a massa da Terra, gira em uma órbita em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. (a) Calcule o período de revolução do asteroide em anos. (b) Qual é a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre um asteroide com uma massa que é
vezes a massa da Terra, girando ao redor do Sol numa distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. A gente vai precisar usar Leis do Movimento Planetário de Kepler e a Lei da Gravitação Universal para calcular:
(a) O período de revolução do asteroide em anos.
(b) A razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período de revolução de um planeta ou asteroide ao redor do Sol pode ser calculado usando a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período orbital (
) com a distância média ao Sol (
):
Aqui,
é a constante gravitacional e
é a massa do Sol. Mas como estamos comparando com a Terra, podemos simplificar essa relação usando a forma relativa da Terceira Lei:
Onde
ano e
é a distância da Terra ao Sol.
Passo 3
No caso do asteroide, a distância ao Sol é o dobro da distância da Terra ao Sol, ou seja,
. Vamos substituir na relação:
Então,
anos.
Passo 4
Agora, para a parte (b), precisamos calcular a razão entre a energia cinética do asteroide (
) e a energia cinética da Terra (
). A energia cinética de um corpo em órbita é dada por:
Mas também podemos expressar a velocidade orbital usando a relação:
Então, a energia cinética fica:
Portanto, a razão é:
Passo 5
Sabendo que
e
, substituímos:
Resposta
(a) O período de revolução do asteroide é aproximadamente 2,828 anos.
(b) A razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra é
.