Um asteroide, cuja massa é 2,0 x 10^4 vezes a massa da Terra, gira em uma órbita em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. (a) Calcule o período de revolução do asteroide em anos. (b) Qual é a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre um asteroide com uma massa que é 2,0 times 10^4 vezes a massa da Terra, girando ao redor do Sol numa distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. A gente vai precisar usar Leis do Movimento Planetário de Kepler e a Lei da Gravitação Universal para calcular:
(a) O período de revolução do asteroide em anos.
(b) A razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período de revolução de um planeta ou asteroide ao redor do Sol pode ser calculado usando a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período orbital ( T) com a distância média ao Sol ( R):
T^2 = 4pi^2 R^3G M
Aqui, G é a constante gravitacional e M é a massa do Sol. Mas como estamos comparando com a Terra, podemos simplificar essa relação usando a forma relativa da Terceira Lei:
(TTTerra)^2 = (RRTerra)^3
Onde TTerra = 1 ano e RTerra é a distância da Terra ao Sol.

Passo 3

No caso do asteroide, a distância ao Sol é o dobro da distância da Terra ao Sol, ou seja, Rasteroide = 2 RTerra. Vamos substituir na relação:
(T1, ano)^2 = (2 RTerraRTerra)^3 Rightarrow T^2 = 2^3 = 8
Então, T = raiz8 approx 2,828 anos.

Passo 4

Agora, para a parte (b), precisamos calcular a razão entre a energia cinética do asteroide ( Kasteroide) e a energia cinética da Terra ( KTerra). A energia cinética de um corpo em órbita é dada por:
K = 12 m v^2
Mas também podemos expressar a velocidade orbital usando a relação:
v = raizG MR
Então, a energia cinética fica:
K = 12 m (raizG MR)^2 = 12 m G MR
Portanto, a razão é:
KasteroideKTerra = 12 masteroide G MRasteroide12 mTerra G MRTerra = masteroidemTerra cdot RTerraRasteroide

Passo 5

Sabendo que masteroide = 2,0 times 10^4 mTerra e Rasteroide = 2 RTerra, substituímos:
KasteroideKTerra = 2,0 times 10^4 cdot 12 = 1,0 times 10^4

Resposta

(a) O período de revolução do asteroide é aproximadamente 2,828 anos.
(b) A razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra é 1,0 times 10^4.

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