Considere uma esfera isolante de raio b com um buraco concêntrico de raio a carregado com una densidade volumétrica uniforme rho
Qual a diferença de potencial entre a superfície a e a superfície b ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma casca esférica (uma “bola” oca) com raio interno a e raio externo b, carregada com densidade volumétrica uniforme V(r1)-V(r2);=;-integralr2^r1E(r),dr . A pergunta é: qual é a diferença de potencial entre a superfície de raio a e a de raio b?
Matéria: eletrostática (Lei de Gauss e relação entre campo e potencial).
O que vamos usar:
  1. Lei de Gauss para achar o campo elétrico na região .
  2. A relação
para obter .

Passo 2

Primeiro, aplica a Lei de Gauss numa superfície esférica de raio genérico Qrm int(r)=rho;l[tfrac4pi3(r^3 - a^3)r] , com Phi = E(r),4pi r^2 = Qrm int(r)varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) =rhovarepsilon0,r^3 - a^33,r^2 .
– Carga contida até :
– Lei de Gauss:

Passo 3

Agora vamos à diferença de potencial entre V(a)-V(b);=;-integralb^a E(r),dr e . Escolhemos
Como está no sentido radial (positiva para fora), essa integral dá o quanto o potencial “sobe” de até .

Passo 4

Substituindo V(a)-V(b) =-integralb^a rho3varepsilon0,r^3 - a^3r^2,dr =rho3varepsilon0integralb^al(r - a^3r^2r)dr , temos
integrall(r - a^3r^2r)dr =r^22 + a^3r
Fazendo a integral:
V(a)-V(b) =rho3varepsilon0l[l(tfraca^22+tfraca^3ar) -l(tfracb^22+tfraca^3br)r]
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Resposta

boxed V(a)-V(b) =rho3varepsilon0l(tfraca^22+a^2 -tfracb^22-tfraca^3br) =rho6varepsilon0l(3a^2 - b^2 - 2a^3br)

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