Provar que
nabla times(phi A)=nabla phi times A+phi nabla times A

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para uma função escalar φ(x,y,z) e um campo vetorial A(x,y,z), vale
nabla times (phi,A) ;=;nablaphi times A;+;phi,(nablatimesA)
Isso é um exercício de Cálculo Vetorial, envolvendo o rotacional (curl) e a regra do produto de derivadas parciais. Para resolver a gente vai precisar:
  1. Definição do rotacional em termos de componentes,
  2. Regra do produto para derivadas parciais: .

Passo 2

Lembra que o rotacional de um campo F = (F₁,F₂,F₃) é dado por
(nablatimes F)x = partialy Fz - partialz Fy, (nablatimes F)y = partialz Fx - partialx Fz, (nablatimes F)z = partialx Fy - partialy Fx
Aqui a gente vai aplicar isso a F = φ A, ou seja, F_i = φ A_i, e usar a regra do produto em cada derivada parcial.

Passo 3

Vamos fazer a conta componente a componente. Por exemplo, a componente x do lado esquerdo:
(nablatimes(phi A))x = partialy(phi Az) ;-;partialz(phi Ay)
Aplicando a regra do produto em cada termo:
partialy(phi Az) = (partialyphi),Az + phi,(partialy Az), partialz(phi Ay) = (partialzphi),Ay + phi,(partialz Ay)
Substituindo:
(nablatimes(phi A))x = l(partialyphi,Az - partialzphi,Ayr) ;+;phi,l(partialy Az - partialz Ayr)
Repara que
é justamente a componente x de ,
e
é a componente x de .

Passo 4

Exatamente a mesma coisa vale pros eixos y e z: em cada componente você vai ver um pedaço que vem de nablatimes(phi A) = nablaphi times A ;+;phi,(nablatimes A) e outro que vem de .
Juntando as três componentes, concluímos que

Resposta

boxednablatimes(phi,A) ;=;nablaphi times A;+;phi,(nablatimesA)

Exercícios relacionados