Provar que
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para uma função escalar φ(x,y,z) e um campo vetorial A(x,y,z), vale
Isso é um exercício de Cálculo Vetorial, envolvendo o rotacional (curl) e a regra do produto de derivadas parciais. Para resolver a gente vai precisar:
- Definição do rotacional em termos de componentes,
- Regra do produto para derivadas parciais:
.
Passo 2
Lembra que o rotacional de um campo F = (F₁,F₂,F₃) é dado por
Aqui a gente vai aplicar isso a F = φ A, ou seja, F_i = φ A_i, e usar a regra do produto em cada derivada parcial.
Passo 3
Vamos fazer a conta componente a componente. Por exemplo, a componente x do lado esquerdo:
Aplicando a regra do produto em cada termo:
Substituindo:
Repara que
é justamente a componente x de
,
e
é a componente x de
.
e
Passo 4
Exatamente a mesma coisa vale pros eixos y e z: em cada componente você vai ver um pedaço que vem de
e outro que vem de
.
Juntando as três componentes, concluímos que
Juntando as três componentes, concluímos que