Considere uma esfera maciça, raio R, uniformemente carregada com densidade volumétrica rho. Determine as expressões do potencial elétrico em todo espaço.

Passo 1

Beleza, a questão é: “Temos uma esfera maciça de raio , com carga distribuída uniformemente (densidade volumétrica ). Queremos achar o potencial elétrico em todo o espaço, ou seja, para e para .”
Conteúdo: eletrostática – lei de Gauss e definição de potencial elétrico via campo elétrico. Vamos precisar
  1. usar a lei de Gauss para achar o campo dentro e fora da esfera;
  2. usar para achar o potencial.

Passo 2

Acerte o campo com a lei de Gauss:
– Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio E(r),4pi r^2=Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2 =rho,R^33varepsilon0,1r^2(r>= R) .
– A lei de Gauss diz E(r),4pi r^2=rho,tfrac43pi r^3varepsilon0 Longrightarrow E(r)=rho,r3varepsilon0(r<= R) .
Como o campo é radial e constante na superfície, .
  1. Para , toda a carga da esfera está dentro da superfície:
    .
    Logo
  2. Para , só a carga até o raio contribui:
    .
    Assim

Passo 3

Agora monta o potencial:
Definição:
V(r)=-integralinfty^rE(r'),dr',
com V(r) =-integralinfty^r14pivarepsilon0,Qr'^2dr' =14pivarepsilon0,Qr .
a) Para V(r) =V(R);-!!integralR^rE(r'),dr' =Q4pivarepsilon0,R ;-!!integralR^rrho,r'3varepsilon0,dr' :
integralR^rr',dr'=r^2-R^22,
b) Para V(r) =Q4pivarepsilon0,R -rho3varepsilon0,r^2-R^22 =Q4pivarepsilon0,R+rho6varepsilon0,(R^2-r^2) :
V(r)=rho6varepsilon0,l(3R^2-r^2r) (r<= R)
Calcule a integral:
logo
Substituindo em , dá

Resposta

Potencial elétrico de uma esfera uniformemente carregada:
  • Para V(r)=14pivarepsilon0,Qr =rho,R^33varepsilon0,1r : V(r)=rho6varepsilon0,(3R^2-r^2)
  • Para :

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