Considere uma esfera maciça, raio
, uniformemente carregada com densidade volumétrica
. Determine as expressões do potencial elétrico em todo espaço.
Passo 1
Beleza, a questão é: “Temos uma esfera maciça de raio
, com carga distribuída uniformemente (densidade volumétrica
). Queremos achar o potencial elétrico
em todo o espaço, ou seja, para
e para
.”
Conteúdo: eletrostática – lei de Gauss e definição de potencial elétrico via campo elétrico. Vamos precisar
Conteúdo: eletrostática – lei de Gauss e definição de potencial elétrico via campo elétrico. Vamos precisar
- usar a lei de Gauss para achar o campo
dentro e fora da esfera; - usar
para achar o potencial.
Passo 2
Acerte o campo com a lei de Gauss:
– Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio .
– A lei de Gauss diz .
Como o campo é radial e constante na superfície, .
– Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
– A lei de Gauss diz
Como o campo é radial e constante na superfície,
-
Para
, toda a carga da esfera está dentro da superfície:
.
Logo -
Para
, só a carga até o raio contribui:
.
Assim
Passo 3
Agora monta o potencial:
Definição:
Definição:
com
.
a) Para
:
b) Para
:
Calcule a integral:
logo
Substituindo
em
, dá
Resposta
Potencial elétrico de uma esfera uniformemente carregada:
- Para
: - Para
: