Um bastão de comprimento L está carregado uniformemente com densidade linear lambda. Determine o potencial ao longo da reta que passa perpendicularmente pelo centro do bastão.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a gente tem um bastão reto de comprimento dV = 14pivarepsilon0,dqr,, com carga distribuída de forma uniforme, ou seja, densidade linear . Queremos achar o potencial elétrico num ponto que fica a uma distância do centro do bastão, mas não na mesma reta do bastão: é uma reta perpendicular que passa pelo meio dele.
Conteúdo: eletrostática básica (potencial elétrico de uma distribuição contínua).
O que a gente vai precisar:
  1. A lei do potencial elétrico de um pedacinho de carga : em que é a distância do pedacinho ao ponto onde calculamos .
  2. Converter em termos de e um elemento de comprimento .
  3. Fazer a integral de a .

Passo 2

Vamos colocar um eixo r = raizy^2 + x^2, ao longo do bastão, de modo que o centro fique em dV = 14pivarepsilon0,lambda,dyraizy^2 + x^2, , um extremo em V(x) = lambda4pivarepsilon0integral-L/2^L/2dyraizy^2 + x^2, e o outro em .
O ponto onde calculamos está a uma distância do eixo, na direção perpendicular.
  • Um pedacinho de carga é .
  • A distância desse pedacinho ao ponto é
Então
Agora somamos (integral) de até :

Passo 3

Para resolver
integraldyraizy^2 + x^2,,
lembramos a fórmula
integralduraizu^2 + a^2 = lnl(u + raizu^2 + a^2r) + C,
Aqui V(x) = lambda4pivarepsilon0l[lnl(y + raizy^2 + x^2r)r]y=-L/2^y=+L/2 e V(x) = lambda4pivarepsilon0ln!gl(,tfracL2 + raiz(tfracL2)^2 + x^2,-tfracL2 + raiz(tfracL2)^2 + x^2gr), .
Então

Resposta

boxedV(x) ;=; lambda4pivarepsilon0,ln!gl(tfracL2 + raizl(tfracL2r)^2 + x^2-tfracL2 + raizl(tfracL2r)^2 + x^2gr),

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