Determine o potencial em todo espaço gerado por um cilindro maciço e muito longo, de raio
, e uniformemente carregado com densidade volumétrica
. Em seguida, obtenha o campo elétrico em todo espao. Você pode checar seus resultados calculando o campo elétrico via Lei de Gauss.
Passo 1
Beleza, temos um cilindro muito longo e maciço (raio R) com densidade de carga volumétrica ρ constante.
Conteúdo: eletrostática – em particular, potencial elétrico a partir da equação de Poisson/Laplace em coordenadas cilíndricas e depois o campo via E = –dV/dr.
O que vamos precisar:
Conteúdo: eletrostática – em particular, potencial elétrico a partir da equação de Poisson/Laplace em coordenadas cilíndricas e depois o campo via E = –dV/dr.
O que vamos precisar:
- Entender que por simetria V = V® só depende da distância r ao eixo.
- Equação de Poisson (dentro do cilindro) e Laplace (fora do cilindro) em coordenadas cilíndricas.
- Condições de contorno em r = R e no centro (r = 0).
Passo 2
Teoria passo a passo:
– Em eletrostática o potencial V satisfaz ∇²V = –ρ/ε₀ onde ρ ≠ 0, e ∇²V = 0 onde não há carga.
– Em coordenadas cilíndricas, supondo dependência só de r,
– Em eletrostática o potencial V satisfaz ∇²V = –ρ/ε₀ onde ρ ≠ 0, e ∇²V = 0 onde não há carga.
– Em coordenadas cilíndricas, supondo dependência só de r,
– Dentro do cilindro (r < R): ρ ≠ 0 ⇒
– Fora do cilindro (r > R): ρ = 0 ⇒
Aqui V’ ≡ dV/dr.
Passo 3
Resolvendo dentro (r < R):
- Multiplica por r:
. - Integra em r:
onde A é constante de integração.
3) Divide por r e integra de novo:
3) Divide por r e integra de novo:
Passo 4
Resolvendo fora (r > R):
⇒
⇒
com constantes C e D.
Passo 5
Impondo contornos:
a) Regularidade em r = 0: V® não pode divergir → o termo A ln r dentro deve sumir ⇒ A = 0.
b) Continuidade de V e V′ em r = R:
• V_int® = V_ext®
• V’_int® = V’_ext®
Isso dá um sistema para B, C, D.
a) Regularidade em r = 0: V® não pode divergir → o termo A ln r dentro deve sumir ⇒ A = 0.
b) Continuidade de V e V′ em r = R:
• V_int® = V_ext®
• V’_int® = V’_ext®
Isso dá um sistema para B, C, D.
Vamos escolher referência V® = 0 (mais prático):
De V_int®=0 ⇒
De V_int®=0 ⇒
De V’_int®=V’_ext®:
Então, V_ext®=0 dá
Passo 6
Resultados para V®:
Para r ≤ R:
Para r ≤ R:
Para r ≥ R:
Passo 7
Agora o campo:
.
– Para r < R:
– Para r < R:
– Para r > R:
Resposta
Potencial (com V®=0):
Campo elétrico radial:
Confira com a Lei de Gauss: obtém exatamente esses E®.