Determine o potencial em todo espaço gerado por um cilindro maciço e muito longo, de raio R, e uniformemente carregado com densidade volumétrica rho. Em seguida, obtenha o campo elétrico em todo espao. Você pode checar seus resultados calculando o campo elétrico via Lei de Gauss.

Passo 1

Beleza, temos um cilindro muito longo e maciço (raio R) com densidade de carga volumétrica ρ constante.
Conteúdo: eletrostática – em particular, potencial elétrico a partir da equação de Poisson/Laplace em coordenadas cilíndricas e depois o campo via E = –dV/dr.
O que vamos precisar:
  1. Entender que por simetria V = V® só depende da distância r ao eixo.
  2. Equação de Poisson (dentro do cilindro) e Laplace (fora do cilindro) em coordenadas cilíndricas.
  3. Condições de contorno em r = R e no centro (r = 0).

Passo 2

Teoria passo a passo:
– Em eletrostática o potencial V satisfaz ∇²V = –ρ/ε₀ onde ρ ≠ 0, e ∇²V = 0 onde não há carga.
– Em coordenadas cilíndricas, supondo dependência só de r,
∇²V = 1rddrl(rdVdrr) ²
– Dentro do cilindro (r < R): ρ ≠ 0 ⇒
1rddrl(r,V'r) = -ρε0
– Fora do cilindro (r > R): ρ = 0 ⇒
1rddrl(r,V'r) = 0
Aqui V’ ≡ dV/dr.

Passo 3

Resolvendo dentro (r < R):
  1. Multiplica por r: r,V' = -ρε0,r^22 + A .
  2. Integra em r:
V'(r) = -ρ,r2ε0 + Ar, V(r) = -ρ2ε0,r^22 + Aln r + B = -ρ,r^24ε0 + Aln r + B
onde A é constante de integração.
3) Divide por r e integra de novo:

Passo 4

Resolvendo fora (r > R):
V'(r) = Cr, V(r) = Cln r + D,
com constantes C e D.

Passo 5

Impondo contornos:
a) Regularidade em r = 0: V® não pode divergir → o termo A ln r dentro deve sumir ⇒ A = 0.
b) Continuidade de V e V′ em r = R:
• V_int® = V_ext®
• V’_int® = V’_ext®
Isso dá um sistema para B, C, D.
Vamos escolher referência V® = 0 (mais prático):
De V_int®=0 ⇒
-ρ,R^24ε0 + B = 0 ;;Rightarrow;; B = ρ,R^24ε0
De V’_int®=V’_ext®:
V'int(R) = -ρ,R2ε0, V'ext(R) = CR ;;Rightarrow;; C = -ρ,R^22ε0
Então, V_ext®=0 dá
Cln R + D = 0 ;;Rightarrow;; D = -Cln R = ρ,R^22ε0ln R

Passo 6

Resultados para V®:
Para r ≤ R:
V(r) = -ρ,r^24ε0 + ρ,R^24ε0 = ρ4ε0l(R^2 - r^2r)
Para r ≥ R:
V(r) = Cln r + D = -ρ,R^22ε0ln r + ρ,R^22ε0ln R = ρ,R^22ε0ln!l(tfracRrr)

Passo 7

Agora o campo: E(r) = -ddrl[tfracρ4ε0(R^2 - r^2)r] = ρ,r2ε0 .
– Para r < R:
E(r) = -ddrl[tfracρR^22ε0ln!tfracRrr] = ρ,R^22ε0,r
– Para r > R:

Resposta

Potencial (com V®=0):
V(r)= dfracρ4ε0,(R^2 - r^2),, & r<= R,[6pt] dfracρ,R^22ε0,ln!l(tfracRrr), & r>= R
Campo elétrico radial:
E(r)= dfracρ,r2ε0,hat r,, & r<= R,[4pt] dfracρ,R^22ε0,r,hat r,, & r>= R
Confira com a Lei de Gauss: obtém exatamente esses E®.

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