Considere uma esfera maciça e uniforme de massa M e raio r. Calcule o módulo da força gravitacional F exercida por essa esfera sobre uma partícula de massa m localizada a uma distância d do centro da esfera nas seguintes situações:
Quando d

Passo 1

Beleza! O enunciado diz: “Temos uma esfera maciça e uniforme de massa e raio . Queremos achar a força gravitacional que essa esfera faz sobre uma partícula de massa a uma distância do centro, sendo .”
Conteúdo: Gravitação de Newton e como funciona o campo dentro de uma esfera uniforme.
O que vamos usar:
  • Lei da gravitação universal: .
  • Cálculo da massa efetiva dentro de um raio , sabendo que a densidade é uniforme.

Passo 2

Primeiro, entenda que se a partícula está a , só a massa que está dentro desse raio “puxa” a partícula. A massa que está além de não contribui (é um resultado do teorema gaussiano em gravitação ou da simetria esférica).

Passo 3

Como a densidade rho = massa totalvolume total = Mtfrac43pi r^3 é constante,
Mrm efetiva = rho times tfrac43pi d^3 = Mtfrac43pi r^3;timestfrac43pi d^3 = M,d^3r^3
A massa contida até o raio é

Passo 4

Agora aplicamos a lei da gravitação só com essa massa efetiva:
F = G,m,Mrm efetivad^2 = G,m,(M,d^3/r^3)d^2 = G,m,M,dr^3
O sinal é de atração, apontando para o centro da esfera.

Resposta

boxedF = G,m,Mr^3,d, para d

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