Duas estrelas de mesma massa
, sujeitas apenas à força gravitacional, estão separadas por uma distância D e giram em torno do centro de massa do sistema. Seja G a constante gravitacional.
Calcule a velocidade linear e a energia mecânica total do sistema em função de M,D,G.
Calcule a velocidade linear e a energia mecânica total do sistema em função de M,D,G.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas estrelas iguais, cada uma com massa
, separadas por uma distância
, girando só pela força da gravidade em torno do centro de massa.
Conteúdo: mecânica (força centrípeta e energia mecânica) e lei da gravitação de Newton.
O que vamos precisar:
Conteúdo: mecânica (força centrípeta e energia mecânica) e lei da gravitação de Newton.
O que vamos precisar:
- Lei da gravitação:
. - Força centrípeta:
. - Energia cinética:
(para cada estrela). - Energia potencial gravitacional:
.
Passo 2
Como as massas são iguais, o centro de massa fica exatamente no meio da distância. Cada estrela descreve uma circunferência de raio
Passo 3
Agora igualamos a força da gravitação (que mantém as estrelas unidas) à força centrípeta (que faz cada estrela girar):
Aqui explicando:
-
-
Passo 4
Substituindo
na equação:
Agora isolamos
$$G,\frac{M2}{D2} = M,\frac{2,v^2}{D}
\quad\Longrightarrow\quad
v^2 = \frac{G,M2}{D2};\frac{D}{2M}
v^2 = \frac{G,M2}{D2};\frac{D}{2M}
= \frac{G,M}{2,D}.
\boxed{v = \sqrt{\frac{G,M}{2,D}},.}$$
Passo 5
Calcular a energia mecânica total
:
- Energia cinética total: são duas estrelas iguais, então
- Energia potencial gravitacional entre as duas massas:
Somando:
Resposta
Velocidade linear de cada estrela:
Energia mecânica total do sistema: