Duas estrelas de mesma massa M, sujeitas apenas à força gravitacional, estão separadas por uma distância D e giram em torno do centro de massa do sistema. Seja G a constante gravitacional.
Calcule a velocidade linear e a energia mecânica total do sistema em função de M,D,G.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas estrelas iguais, cada uma com massa M, separadas por uma distância D, girando só pela força da gravidade em torno do centro de massa.
Conteúdo: mecânica (força centrípeta e energia mecânica) e lei da gravitação de Newton.
O que vamos precisar:
  1. Lei da gravitação: Fg = G,dfracMcdot MD^2.
  2. Força centrípeta: Fc = M,dfracv^2r.
  3. Energia cinética: K=tfrac12 M v^2 (para cada estrela).
  4. Energia potencial gravitacional: U=-G,dfracMcdot MD.

Passo 2

Como as massas são iguais, o centro de massa fica exatamente no meio da distância. Cada estrela descreve uma circunferência de raio
r = D2

Passo 3

Agora igualamos a força da gravitação (que mantém as estrelas unidas) à força centrípeta (que faz cada estrela girar):
Fg = Fc Longrightarrow G,M^2D^2 ;=; M,v^2r
Aqui explicando:
- G,M^2D^2 é a atração mútua.
- M,v^2r é a força que “puxa” a massa para fazê-la girar em raio r.

Passo 4

Substituindo r=D/2 na equação:
G,M^2D^2 ;=; M;v^2D/2 ;=; M;2,v^2D
Agora isolamos v^2:
$$G,\frac{M2}{D2} = M,\frac{2,v^2}{D}
\quad\Longrightarrow\quad
v^2 = \frac{G,M2}{D2};\frac{D}{2M}
= \frac{G,M}{2,D}. G,M^2D^2 = M,2,v^2D Longrightarrow v^2 = G,M^2D^2;D2M = G,M2,D\boxed{v = \sqrt{\frac{G,M}{2,D}},.}$$

Passo 5

Calcular a energia mecânica total E = Krm total+U:
  1. Energia cinética total: são duas estrelas iguais, então
Krm total=2;l(tfrac12 M v^2r)=M,v^2 = M;G,M2,D = G,M^22,D
  1. Energia potencial gravitacional entre as duas massas:
U = -,G,M^2D
Somando:
E = Krm total+U = G,M^22,D ;-; G,M^2D = -,G,M^22,D

Resposta

Velocidade linear de cada estrela:
v = raizG,M2,D,
Energia mecânica total do sistema:
E = -,G,M^22,D,

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