Considere uma esfera não condutora sólida de raio R.
Considerando a seguinte densidade de carga volumétrica \rho\left(r^{\prime}\right)=\rho_{0}\left(1-\frac{1}{2} R / r^{\prime}\right). Calcule o campo elétrico em função de r para r<R e r>R.

Passo 1

O enunciado define uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica
\rho(r')=\rho_{0}\Bigl(1-\frac{R}{2\,r'}\Bigr).
Queremos E(r) para r<R e para r>R. Vamos usar a Lei de Gauss, que diz
\oint \vec E\cdot d\vec A \;=\;\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Calcular a carga encerrada por uma superfície gaussiana de raio r<R:
Q_{\mathrm{int}}(r) =\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}dr' =4\pi\rho_{0}\int_{0}^{r}\Bigl(1-\frac{R}{2r'}\Bigr)r'^{2}dr'.
Fazendo a integral,
\int_{0}^{r}r'^{2}dr'=\frac{r^{3}}{3}, \qquad \int_{0}^{r}r'^{1}dr'=\frac{r^{2}}{2},
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Q_{\mathrm{int}}(r) =4\pi\rho_{0}\Bigl[\frac{r^{3}}{3}-\frac{R}{2}\cdot\frac{r^{2}}{2}\Bigr] =4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{r^{3}}{3}-\frac{R\,r^{2}}{4}\Bigr).

Passo 3

Aplicando Gauss para r<R:
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\mathrm{int}}(r)}{\varepsilon_{0}} =\frac{4\pi\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{r^{3}}{3}-\frac{R\,r^{2}}{4}\Bigr).
Isolando E(r):
E(r) =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\;\frac{\frac{r^{3}}{3}-\frac{R\,r^{2}}{4}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{r}{3}-\frac{R}{4}\Bigr),
na direção radial \hat r.

Passo 4

Calcular a carga total (caso r=R):
Q_{\mathrm{tot}} =Q_{\mathrm{int}}(R) =4\pi\rho_{0}\Bigl(\frac{R^{3}}{3}-\frac{R^{3}}{4}\Bigr) =4\pi\rho_{0}\,\frac{R^{3}}{12}.

Passo 5

Para r>R, a superfície gaussiana envolve toda a carga, então
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\mathrm{tot}}}{\varepsilon_{0}} =\frac{4\pi\rho_{0}R^{3}}{12\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{\rho_{0}R^{3}}{12\varepsilon_{0}\,r^{2}},
também na direção \hat r.

Resposta

Para r<R:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{r}{3}-\frac{R}{4}\Bigr)\hat r.
Para r>R:
E(r)=\frac{\rho_{0}R^{3}}{12\varepsilon_{0}\,r^{2}}\hat r.

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