Exercício 13:

Um dipolo que carrega cargas \pm q está alinhado ao longo do eixo y de um sitema de coordenadas retangulares x y z, com o ponto médio do dipolo na origem.
a) Use a lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico através do plano x z, que divide o dipolo e é perpendicular ao momento de dipolo. (Dica: calcule o fluxo elétrico para cada carga separadamente e aplique o príncipio da superposição.)
b) Calcule o fluxo através do plano x z integrando o campo elétrico na Eq. 23.8 do livro
\vec{E}=-k \frac{q_{p} d}{\left[x^{2}+(d / 2)^{2}\right]^{3 / 2}} \hat{j}
sobre o plano. Para isto faça a substituição x^{2} \rightarrow x^{2}+z^{2} para descrever o campo elétrico em qualquer ponto do plano x z.
c) Qual das duas técnicas permite obter o fluxo através do plano x z mais facilmente?

Passo 1

O enunciado descreve um dipolo elétrico formado por cargas +q e -q separadas por uma distância d ao longo do eixo y, com o ponto médio na origem. Queremos o fluxo do campo elétrico através do plano x z (isto é, o plano y=0), que é perpendicular ao momento de dipolo.
Conteúdo: lei de Gauss e cálculo de fluxo por integração direta do campo de dipolo.

Passo 2

Para usar a lei de Gauss em um plano infinito e aberta, notamos que um ponto‐carga Q emite um fluxo total Q/\epsilon_{0} por toda a esfera, e qualquer plano infinito visto do ponto subtende sempre um ângulo sólido de 2\pi, metade de 4\pi. Logo, o fluxo de uma carga Q através de um plano infinito é
\Phi_{\text{plano}}=\frac{Q}{2\epsilon_{0}}.
Aqui tomamos o vetor normal ao plano apontando no sentido positivo de y.

Passo 3

Aplicando isso a cada carga e levando em conta o sinal:
– Da carga +q o campo atravessa o plano no sentido negativo de y, gerando
\Phi_{+q}=-\frac{q}{2\epsilon_{0}}.
– Da carga -q o campo também atravessa o plano no sentido negativo de y, pois as linhas vão de fora em direção a -q, gerando
\Phi_{-q}=-\frac{(-q)}{2\epsilon_{0}}=-\bigl(-\tfrac{q}{2\epsilon_{0}}\bigr)= -\frac{q}{2\epsilon_{0}}.
Somando as duas contribuições, o fluxo total é
\Phi=\Phi_{+q}+\Phi_{-q} =-\frac{q}{2\epsilon_{0}} -\frac{q}{2\epsilon_{0}} =-\frac{q}{\epsilon_{0}}.

Passo 4

Agora fazemos a integração direta usando o campo de dipolo dado (com k=1/(4\pi\epsilon_{0}))
\vec{E}(x,y=0,z) =-k\,\frac{q\,d}{\bigl[x^{2}+(d/2)^{2}\bigr]^{3/2}}\;\hat{\jmath},
onde substituímos x^{2}\to x^{2}+z^{2}. O fluxo é
\Phi =\iint_{-\infty}^{\infty} \vec{E}\!\cdot d\vec{A} =\iint E_{y}\,dx\,dz,
com E_{y}=-k\,q\,d\bigl[r^{2}+(d/2)^{2}\bigr]^{-3/2}, onde r^{2}=x^{2}+z^{2}.

Passo 5

Em coordenadas polares (r,\theta) no plano x z,
\Phi =-k\,q\,d \int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\infty} \frac{r\,dr}{\bigl[r^{2}+(d/2)^{2}\bigr]^{3/2}}.
Fazendo u=r^{2}+(d/2)^{2}, du=2r\,dr, obtemos
\int_{0}^{\infty}\frac{r\,dr}{[r^{2}+(d/2)^{2}]^{3/2}} =\frac12\int_{(d/2)^{2}}^{\infty}u^{-3/2}du =\frac{1}{d/2}=\frac{2}{d}.
Logo
\Phi =-k\,q\,d\,(2\pi)\,\frac{2}{d} =-4\pi k\,q =-4\pi\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,q =-\frac{q}{\epsilon_{0}}.

Passo 6

Comparando as duas técnicas, vemos que ambas dão
\Phi=-\frac{q}{\epsilon_{0}}.
A aplicação da lei de Gauss ao plano, usando o princípio da superposição e o fato de que um plano infinito subtende 2\pi de ângulo sólido, foi muito mais direta do que a integração explícita do campo de dipolo.

Resposta

a) \displaystyle \Phi=-\frac{q}{\epsilon_{0}}.
b) \displaystyle \Phi=-\frac{q}{\epsilon_{0}}.
c) A técnica da lei de Gauss é mais fácil do que a integração direta.

Exercícios relacionados