Exercício 8:
Uma partícula de carga
gera um campo elétrico de magnitude
a uma distância
. Assumindo que esta mesma quantidade de carga é distribuída sobre o volume de uma esfera sólida não condutora e de raio
. Calcule:
a) A densidade de carga volumétrica em termos de
.
b) A magnitude do campo elétrico a uma distância
do centro da esfera, deixar em termos de
.
c) A magnitude do campo elétrico na superfície da esfera, deixar em termos de
.
d) A magnitude do campo elétrico a uma distência de
do centro da esfera, deixar em termos de
.
a) A densidade de carga volumétrica em termos de
b) A magnitude do campo elétrico a uma distância
c) A magnitude do campo elétrico na superfície da esfera, deixar em termos de
d) A magnitude do campo elétrico a uma distência de
Passo 1
O enunciado dá uma carga pontual
que produz um campo de módulo
a uma distância
, ou seja
Depois, essa mesma carga
é espalhada uniformemente dentro de uma esfera não condutora de raio
. Queremos (a) a densidade volumétrica
, (b) o campo em
, (c) o campo em
e (d) o campo em
. Vamos usar simetria esférica e a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, isolamos
em função de
:
Como a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera,
Passo 3
Para pontos fora da esfera
, a esfera age como carga pontual. Pela Lei de Gauss,
Em particular, em
:
Passo 4
Na superfície da esfera
, vale a mesma fórmula externa:
Passo 5
Para pontos internos
, a carga encerrada é
e a Lei de Gauss dá
Logo, em
:
Resposta
a)
.
b) .
c) .
d) .
b)
c)
d)