Exercício 8:

Uma partícula de carga +q gera um campo elétrico de magnitude E_{0} a uma distância R. Assumindo que esta mesma quantidade de carga é distribuída sobre o volume de uma esfera sólida não condutora e de raio R. Calcule:
a) A densidade de carga volumétrica em termos de E_{0}.
b) A magnitude do campo elétrico a uma distância 2 R do centro da esfera, deixar em termos de E_{0}.
c) A magnitude do campo elétrico na superfície da esfera, deixar em termos de E_{0}.
d) A magnitude do campo elétrico a uma distência de R / 4 do centro da esfera, deixar em termos de E_{0}.

Passo 1

O enunciado dá uma carga pontual +q que produz um campo de módulo E_{0} a uma distância R, ou seja
E_{0} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{R^{2}}\,.
Depois, essa mesma carga q é espalhada uniformemente dentro de uma esfera não condutora de raio R. Queremos (a) a densidade volumétrica \rho, (b) o campo em r=2R, (c) o campo em r=R e (d) o campo em r=R/4. Vamos usar simetria esférica e a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, isolamos q em função de E_{0}:
q = 4\pi\varepsilon_{0}\,R^{2}E_{0}\,.
Como a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera,
\rho = \frac{q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}} = \frac{4\pi\varepsilon_{0}\,R^{2}E_{0}}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}} = \frac{3\varepsilon_{0}E_{0}}{R}\,.

Passo 3

Para pontos fora da esfera r\ge R, a esfera age como carga pontual. Pela Lei de Gauss,
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{r^{2}} = E_{0}\,\frac{R^{2}}{r^{2}}\,.
Em particular, em r=2R:
E(2R) = E_{0}\,\frac{R^{2}}{(2R)^{2}} = \frac{E_{0}}{4}\,.

Passo 4

Na superfície da esfera r=R, vale a mesma fórmula externa:
E(R) = E_{0}\,\frac{R^{2}}{R^{2}} = E_{0}\,.

Passo 5

Para pontos internos r\le R, a carga encerrada é
q_{\rm int} = \rho\;\frac{4}{3}\pi r^{3} = q\,\frac{r^{3}}{R^{3}}
e a Lei de Gauss dá
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q\,r}{R^{3}} = E_{0}\,\frac{R^{2}}{R^{3}}\,r = E_{0}\,\frac{r}{R}\,.
Logo, em r=R/4:
E\bigl(R/4\bigr)=E_{0}\,\frac{R/4}{R}=\frac{E_{0}}{4}\,.

Resposta

a) \displaystyle \rho = \frac{3\varepsilon_{0}E_{0}}{R}.
b) \displaystyle E(2R)=\frac{E_{0}}{4}.
c) \displaystyle E(R)=E_{0}.
d) \displaystyle E\bigl(R/4\bigr)=\frac{E_{0}}{4}.

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