Considere uma esfera não condutora sólida de raio R.
a) Considerando a seguinte densidade de carga volumétrica \rho\left(r^{\prime}\right)=\rho_{0}\left(1-\frac{1}{2} R / r^{\prime}\right). Calcule o campo elétrico em funçāo de r para r<R e r>R.
b) Calcule agora para \rho\left(r^{\prime}\right)=\rho_{0} r^{\prime} / R.
c) Qual das opçōes possui o campo elétrico mais intenso? Justifique.

Passo 1

Temos uma esfera não condutora de raio R com densidade de carga volumétrica radial \rho(r'). Queremos usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico E(r) em função de r nos casos r<R (dentro da esfera) e r>R (fora da esfera). A Lei de Gauss para simetria esférica diz
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}}(r)=\displaystyle\int_{0}^{r}4\pi r'^2\,\rho(r')\,dr'.

Passo 2

Caso a) \rho(r')=\rho_0\Bigl(1-\tfrac12\,\tfrac{R}{r'}\Bigr).
Primeiro o carregamento interno até r:
Q_{\text{int}}(r) =4\pi\rho_0\int_{0}^{r}\Bigl(r'^2-\tfrac12\,R\,r'\Bigr)\,dr' =4\pi\rho_0\Bigl[\tfrac{r^3}{3}-\tfrac{R\,r^2}{4}\Bigr].
Então, para r<R,
E(r) =\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_0\,r^2} =\frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac{r}{3}-\tfrac{R}{4}\Bigr).
Para r>R usamos a carga total Q_{\text{tot}}=Q_{\text{int}}(R):
Q_{\text{tot}} =4\pi\rho_0\Bigl[\tfrac{R^3}{3}-\tfrac{R^3}{4}\Bigr] =\frac{\pi\rho_0R^3}{3},
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E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_{\text{tot}}}{r^2} =\frac{\rho_0\,R^3}{12\,\varepsilon_0\,r^2}.

Passo 3

Caso b) \rho(r')=\rho_0\,\tfrac{r'}{R}.
O carregamento interno até r é
Q_{\text{int}}(r) =4\pi\frac{\rho_0}{R}\int_{0}^{r}r'^3\,dr' =4\pi\frac{\rho_0}{R}\cdot\frac{r^4}{4} =\pi\rho_0\,\frac{r^4}{R}.
Para r<R,
E(r) =\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_0\,r^2} =\frac{\rho_0}{4\,\varepsilon_0\,R}\,r^2.
Para r>R a carga total é Q_{\text{tot}}=\pi\rho_0R^3, dando
E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\pi\rho_0R^3}{r^2} =\frac{\rho_0\,R^3}{4\,\varepsilon_0\,r^2}.

Passo 4

Comparamos a intensidade na superfície r=R:
  • Caso a: E(R)=\tfrac{\rho_0R}{12\,\varepsilon_0}.
  • Caso b: E(R)=\tfrac{\rho_0R}{4\,\varepsilon_0}.
    Como \tfrac{1}{4}>\tfrac{1}{12}, o caso b) gera campo mais intenso em toda parte (dentro e fora), pois concentra mais carga nas regiões externas.

Resposta

a)
E(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\Bigl(\tfrac{r}{3}-\tfrac{R}{4}\Bigr),&r<R,\\[6pt] \dfrac{\rho_0\,R^3}{12\,\varepsilon_0\,r^2},&r>R. \end{cases}
b)
E(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_0}{4\,\varepsilon_0\,R}\,r^2,&r<R,\\[6pt] \dfrac{\rho_0\,R^3}{4\,\varepsilon_0\,r^2},&r>R. \end{cases}
c) O caso b) possui o campo elétrico mais intenso, pois concentra maior fração de carga nas regiões externas, aumentando E tanto dentro quanto fora da esfera.]

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