Questão 4 - A função \psi(x, t) descreve uma onda plasmônica que se propaga em uma dimensão, e satisfaz à equação
\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+\frac{\omega_{p}^{2}}{c^{2}} \psi=0
onde c e \omega_{p} são constantes reais e positivas.
(a) Calcule relação de dispersão \omega(k) para essas ondas.
(b) Determine as velocidades de grupo v_{g} e de fase v_{f}.

Passo 1

O enunciado dá a equação de ondas plasmônicas unidimensionais
\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\omega_{p}^{2}}{c^{2}}\psi=0
e pede
a) a relação de dispersão \omega(k),
b) as velocidades de fase v_{f} e de grupo v_{g}.
Vamos usar o método de ansatz de onda plana para obter \omega(k) e então calcular v_{f}=\omega/k e v_{g}=d\omega/dk.

Passo 2

Assumimos solução do tipo onda plana
\psi(x,t)=A\,e^{i(kx-\omega t)}.
Substituindo no PDE, calculamos
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}A\,e^{i(kx-\omega t)}, \quad \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=-k^{2}A\,e^{i(kx-\omega t)}.
Então a equação vira
\frac{1}{c^{2}}(-\omega^{2})A\,e^{i(kx-\omega t)} -(-k^{2})A\,e^{i(kx-\omega t)} +\frac{\omega_{p}^{2}}{c^{2}}A\,e^{i(kx-\omega t)}=0.

Passo 3

Cancelando o fator comum A\,e^{i(kx-\omega t)} e multiplicando por c^{2}, obtemos
-\omega^{2}+c^{2}k^{2}+\omega_{p}^{2}=0 \qquad\Longrightarrow\qquad \omega^{2}=\omega_{p}^{2}+c^{2}k^{2}.
Assim a relação de dispersão é
\omega(k)=\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}k^{2}},
escolhendo o ramo positivo para ondas que se propagam.

Passo 4

A velocidade de fase é definida por
v_{f}=\frac{\omega}{k} =\frac{\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}k^{2}}}{k} =\sqrt{\frac{\omega_{p}^{2}}{k^{2}}+c^{2}}.

Passo 5

A velocidade de grupo é
v_{g}=\frac{d\omega}{dk} =\frac{d}{dk}\Bigl(\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}k^{2}}\Bigr) =\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}k^{2}}} =\frac{c^{2}k}{\omega(k)}.

Resposta

a) \omega(k)=\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}k^{2}}.
b) \displaystyle v_{f}=\frac{\omega}{k}=\sqrt{\frac{\omega_{p}^{2}}{k^{2}}+c^{2}},\quad v_{g}=\frac{d\omega}{dk}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}k^{2}}}.

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